数列求和热点题型“再回首”

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

数列求和是高考每年必考内容,主要涉及等差、等比数列求和,裂项相消法求和,错位相减法求和及分组法求和等,考查同学们对基础知识的掌握及解决问题的能力,难度中等。以下几类热点题型同学们应特别关注。

题型一 分组转化法求和

将数列中的每一项分拆成几项,然后重新分组,将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题,我们将这种方法称为分组转化法求和法,运用这种方法的关键是通项合理变形。

例1(2018·合肥质检)已知数列{an}的前n项和,n∈N*。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和。

解析：(1)当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-

n=1时,a1也满足an=n,故数列{an}的通项公式为an=n。

(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn。

记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)。

记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则：

A==22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n。

故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2。

点评：用分组转化法求和的常见类型：

(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用此法求{an}的前n项和;

(2)数列通项公式为an=中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用此法求和。

【变式训练1】(2018·深圳调研)已知函数f(n)=且an=fn+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )。

A.0 B.100

C.-100 D.10200

参考答案：B。

题型二 错位相减法求和

(1)如果一个数列的每项都由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成,此时可采用错位相减法求和。

(2)运用错位相减法求和,一般和式比较复杂,运算量较大,易会不易对,应特别细心,解题时若含参数,要注意分类讨论。

例2(2018·阜阳调研)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100。

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)当d＞1时,记,求数列{c}n的前n项和Tn。

解析：(1)由题意得解得

(2)由d＞1,知an=2n-1,bn=2n-1。故,于是：

Tn=。①

点评：用错位相减法求和时,应注意：

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;

(2)在写“Sn”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-”的表达式;

(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

【变式训练2】(2017·衡水中学调研卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=6,S5=,则 数 列的前n项和为( )。

参考答案：B。

题型三 裂项相消法求和

裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项,使这些拆开的项出现有规律的相互抵消,看有几项没有抵消掉,从而达到求和的目的。

例3(2018·梅州质检)已知正项数列{an},a1=1,点()(n∈N*)在函数y=x2+1的图像上,数列{bn}的前n项和Sn=2-bn。

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

解析：(1)因为点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图像上,所以an+1=an+1,数列{an}是公差为1的等差数列。

因为a1=1,所以an=1+(n-1)×1=n。

因为Sn=2-bn,所以Sn+1=2-bn+1。

两式相减,得：

bn+1=-bn+1+bn,即。

由S1=2-b1,得b1=2-b1,b1=1。

故数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列。

(2)l o g2bn+1==-n,因此,cn=。

故Tn=c1+c2+…+cn=

【变式训练3】(2018·南昌调研)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,任意n∈N*,2Sn=+an。令设{bn}的前n项和为Tn,则在T1,T2,T3,…,T100中有理数的个数为

参考答案：9。