均值不等式链的灵活运用

■河南省虞城县高级中学 王满意

一、基本不等式链

若a、b都是正数,则,当且仅当a=b时等号成立。

注：算 术 平 均 数——;几何平均数——;调 和 平 均 数——;平方平均数——。

思维提炼：每一个链条都暗含着一个思考方向,每一个链条都暗含着做题时的一个思路和方法!

二、各链条间的灵活运用

(一)积与和的关系链

例1已知正数x、y满足2y+x+2x y=8,求x+2y的最小值。

解析：由已知条件分解得：(x+1)(2y+1)=9,又x+2y=(x+1)+(2y+1)-2≥-2=4,当且仅当x+1=2y+1时取等号。

例2设x＞0,y＞0,3x+y=5,则的最小值为。

解析：因为3x+y=5,所以3(x+1)+y=8。因为x+1＞0,y＞0,所以[3(x+1)+y]=,当且仅当,即x=,y=4时,等号成立,故的最小值为。

例3若实数a,b,c∈R+,且a b+a c+b c+25=6-a2,则2a+b+c的最小值为( )。

解析：因为所以,所以2a+b+c=(a+c)+(a+b)≥2,当且仅当a+c=a+b时,等号成立。故应选D。

(二)积与平方和的关系链

例4已知x,y,z为正实数,则的最大值是( )。

解析：由于求的是最大值且x,y,z为正实数,由得当且仅当时,等号成立,故选B。

例5已知圆O的半径为1,A,B,C,D为该圆上四个点,且,则△A B C的面积最大值为( )。

解析：因为,所以四边形A B D C为平行四边形,又因为点A、B、C、D都在圆上,所以A D、B C必为圆的直径,∠A C D=∠B A C=90°,四边形A B D C为矩形,A D=2,|A C|2+|A B|2=|A D|2=4,=1,当且仅当|A C|=|A B|时取等号,故选B。

例6设x≥0,y≥0,1,则的最大值为。

解析：因为x≥0,y≥0,,所以,当且仅当时,x取得最大值。

(三)平方和与和的关系链

例7若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|P A|+|P B|的最大值为( )。

解析：因为∠A P B=90°,所以|P A|2+|P B|2=4。

故|P A|+|P B|≤22。应选B。

例8设区域G={(x,y)|x2+y2-4y+2≤0},P(x,y)是区域G内的任意一点,则的取值范围是( )。

解析：由题意知G={(x,y)|x2+y2-4y+2≤0}={(x,y)|x2+(y-2)2≤2},又(当x=y时等号成立),则,即·,所以。又由线性规划,对于G中的点,知x+y≥0,则=1,又当x=-1,y=1时,x+y=0,即=0,故其取值范围为[0,1]。故应选C。

小试牛刀：

1.若0＜x＜1,则的最小值为( )。

A.24 B.26 C.25 D.1

2.设x＞0,y＞0且x+y=4,则的最小值是( )。

3.已知对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则( )。

A.a的最小值为-3

B.a的最小值为-4

C.a的最大值为2

D.a的最大值为4

4.已知a,b均为正数,且a b-a-2b=0,则的最小值为

5.若a＞b＞0,求a2+的最小值。

小试牛刀答案与提示：

1.C

2.A 提示：因为x+y=4,所以(x+1)+(y+2)=7。

3.A 提示：因为x∈(1,+∞),所以x-1＞0,x＞0。不等式+1可化为a2+2a+2≤x,即a2+2a+2≤+x-1+1,因为+x-1+1≥2+1=5,当且仅当即x=3时,上式取“=”号,所以a2+2a+2≤5,解得-3≤a≤1。故选A。

4.7 提示：a b-a-2b=0⇒=1,所以≥2+2=4(当且仅当a=2b时取等号)。

5.由题意得当且仅当b=a—b且a=,即a=2b=22时取等号,故的最小值为16。