利用基本不等式破解最值问题

■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟

我们学过的基本不等式主要有：

若a,b∈R*,则,当且仅当a=b时等号成立。

若a,b∈R,则a2+b2≥2a b,当且仅当a=b时等号成立。

利用基本不等式求最值,是高考考查的重点之一。解题时要选准相当于公式中a、b的代数式,同时注意公式的正用、逆用及变形用,积极创造条件利用均值不等式。此外,一定要注意“一正二定三相等”。

一、正用“a,b∈R*，则”求最小值

例1(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则的最小值为

解析：由a-3b+6=0可知a-3b=-6。

因为对于任意x,2x＞0恒成立,所以,结合均值不等式的结论可得2a+2-3b≥

点评：正用基本不等式“若a,b∈R*,则”,只有当这两个数的积一定时,这两个正数的和才有最小值。在求解本题的过程中注意a,b∈R,2a、8b均为正数,这是应用基本不等式的条件。

例2已知x＞2,函数的最小值为( )。

A.5 B.4 C.8 D.6

解析：因为x＞2,即x-2＞0,所以由基本不等式可知(x-2)≥4,当且仅当即x=4时取等号。

所以y≥6,故选D。

例3已知若0≤λ≤1≤μ≤2时,的最大值为2,则m+n的最小值为

解析：由已知得=(x,y)。

所以λ=x-y,μ=y。

所以0≤x-y≤1≤y≤2,可行域为一个平行四边形及其内部。由直线的斜率小于零知,直线过点(3,2)时取得最大值,即

因此m+n=(m+n),当且仅当时取等号。

点评：本题直接求m+n的最小值较困难,因为m与n的积不是常数,需要通过向量知识、线性规划知识求得,再通过整体代换把m+n变为m+n=,正用基本不等式求m+n的最小值。

例4(2018·陕西西安联考)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为( )。

解析：因为a1,a3,a13成等比数列,a1=1,所以=a1·a13,(1+2d)2=1+12d(d≠0),解得d=2。

所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n+×2=n2。

故选A。

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,等比中项的性质,基本不等式求最值的知识。解题的关键是利用分离常数法化简式子,凑出积为定值。

二、逆用“a,b∈R*，则”求最大值

例5已知各项均为正数的等差数列{an}的前20项和为100,那么a3·a18的最大值为( )。

解析：由题意可知

所以a3+a18=10,故a3·a18≤=25,当且仅当a=a时等号成立。故选B。

点评：①要巧用等差数列的性质。②当a,b∈R*时,把≥a b变形为a b≤,即要求积的最大值,必须有这两个数的和一定。

例6设,则函数y=x(3-2x)的最大值为

解析：因为,所以3-2x＞0。

所以y=x(3-2x)=(3-2x)≤,当且仅当2x=3-2x,即x=时等号成立。

点评：本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。

例7函数y=的最大值为

解析：注意到2x-1与5-2x的和为定值,所以y2=2x)=8。

又y＞0,所以0＜y≤22,当且仅当2x-1=5-2x,即时取等号。

故ymax=2。

点评：本题将解析式两边平方,根号下的两数的“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。

三、正用“a,b∈R，则a2+b2≥2a b”求最小值

例8△A B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。若a,b,c成等比数列,则cosB的最小值为

解析：因为a,b,c成等比数列,所以b2=a c。

由余弦定理得cosB==,当且仅当a=c时等号成立。

所以cosB的最小值为。

点评：本题是基本不等式在三角形中的运用,可正用“a,b∈R,则a2+b2≥2a b”求cosB的最小值。

四、逆用“a,b∈R，则a2+b2≥2a b”求最大值

例9 若正数x,y满足4x2+9y2+3x y=30,则x y的最大值为( )。

解析：由x＞0,y＞0,所以2·2x·3y≤4x2+9y2,当且仅当2x=3y时等号成立。

因为4x2+9y2+3x y=30,所以x y≤(4x2+9y2)=(30-3x y)。

所以x y≤2。

故选C。

点评：本题先逆用“a,b∈R,则a2+b2≥2a b”求2x·3y的最大值,再解关于x y的不等式求x y的最大值。

五、基本不等式的多次运用

例10已知a＞b＞0,则的最小值为

解析：因为a＞b＞0,所以=16,当且仅当即a=2b=22时等号成立。

点评：连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致。