列谈目的性在基本不等式解题中的运用

■安徽省无为县牛埠中学 朱小扣

通过对基本不等式的学习,同学们大多理解了“一正,二定,三相等”的含义,但做题时仍可能会出错。遇到不等式题时,有时也可能会手足无措。这主要是忽略了不等式放缩具有目的性的原则,下面我们对放缩的目的性做初步探讨,以期给同学们带来帮助。

一、目的性初探

例1已知正数a,b满足a b=a+9b+7,则：

(1)a b的最小值是

(2)a+9b的最小值是

解：(1)a b=a+9b+7≥2+7,即a b-67≥0。

(2)a+9b+7=,即(a+9b)2-36(a+9b)-7×36≥0。

分解因式得[(a+9b)-42]·[(a+9b)+6]≥0。

故a+9b≥42,当且仅当a=9b即a=21,b=时取等号。

点评：在(1)中求a b的最小值,需要把不是a b的形式放缩成a b的形式;在(2)中需要把不是a+9b形式的全放缩成a+9b的形式。不等式的放缩必须具有目的性,这样才能使问题顺利解决。

二、目的性在三角形中的应用

例2已知直角三角形的周长为1,求此三角形面积的最大值。

解：设两直角边为a,b,则问题转化为在a+b+=1的条件下,求a b的最大值。

由1=a+b+得。

点评：此题若用三角函数或其他方法求解的话,都比较麻烦,而采用上述解法,则比较简单。求解本题,一方面可以说明基本不等式的重要性,另一方面从解法上看可以发现放缩必须具有目的性。

三、利用目的性破解二次最值问题

例3已知x,y∈R,且5x2-4x y-y2=5,则2x2+y2的最小值是

解：(5x+y)(x-y)=5,令5x+y=t,则x-y=,联立得

故2x2+y2=2×,当且仅当时取等号。

点评：对此题,只有有目的地令5x+y=t,才能应用基本不等式去求解。采用类似方法,可以解决“2x2+y2=1,求5x2-4x y-y2的最值”之类的问题。

四、利用目的性整合变量

例4设两个不相等的正数a,b满足a3-b3=a2-b2,求证：1＜a+b＜。

解：由a3-b3=a2-b2,得(a-b)(a2+a b+b2)=(a-b)(a+b),a2+a b+b2=a+b。

故(a+b)2-(a+b)=a b∈(a≠b,故取不到等号)。

所以0＜(a+b)2-(a+b)＜。

故1＜a+b＜。

点评：求解此题时,先对凌乱的条件进行化简,再对所得到的式子有目的地整合变量,即把a+b当成一个整体,从而使得问题顺利解决。

五、利用目的性合理配凑

例5已知正数a,b满足2a2+3b2=4,则的最大值是

解：,当且仅当3b2=2+2a2=3时取等号。

六、利用目的性待定求解

例6(2017年河北廊坊高三测试题)设正数x,y满足恒成立,则实数a的最小值是

解：由题意知,只需求即可。

因为x+2y=m x+(1-m)x+2y≥m x+2,令m∶2)=1∶1,解得m=-4,于是,x+2y≥()()。

点评：有目的地运用基本不等式,结合待定系数法,能极大地推广基本不等式的应用范围。

七、利用目的性合理猜想

例7(数学通讯问题333)已知正数a,b满足a3b2(a+b)=24,试求P=11a+14b的最小值。

解：P=11a+14b=2(a+b)+3a+3a+3a+6b+6b

上式当且仅当2(a+b)=3a=6b即a=2,b=1时取等号。

点评：上述解法看似让人摸不着头脑,但实际过程却是很简单：利用a3b2(a+b)=24,可猜想a=2,b=1时取等号。而当a=2,b=1时,a+b=a=3b=3,结合待定系数法,使得问题顺利求解,这进一步可以说明目的性的重要性。

总结：思维不仅需要发散,有时更需要聚合。利用基本不等式时必须要有目的性,只有做题有方向性,才能使问题顺利求解,才能事半功倍。这就像证明数列不等式时,人们常说的“放缩的目的是为了求和”一样。希望本文能给同学们带来帮助。