引导高中生数学深度学习的基本策略

刘瑞富

[摘 要] 在核心素养取向下的高中数学学习，需要深度学习提供支撑. 深度学习的实现需要策略保证，反思日常学习中的浅层次学习，认同深度学习的必要性，抓住教学重难点进行突破，并通过以点带面去建构数学知识体系，是有效的深度学习策略.

[关键词] 高中数学；数学学习；深度学习

当前高中数学教学有两个基本取向：一是现实取向，即面向高考需要培养学生的解题能力；二是学生成长取向，即面向学生的成长需要，培育学生的学科核心素养以及更高层次的核心素养. 这两个取向都是教学的必须，都应当是数学教师教学研究视域内的重要内容. 一线教师所追求的最根本的一点，是“可操作性”，即经由什么样的途径去实现教学目标、达成教学取向. 纵观已有的学生解题能力培养的教学实践，以及横视核心素养培育所需要达成的要求，笔者以为当下高中数学课堂所要追求的一点，就是学生的深度学习.

深度学习不同于一般的学习，其强调学生在学习过程中对数学学习的态度的认同，强调思维在数学知识建构过程中的高度参与，强调在问题解决过程中数学知识的有效运用进而转识成智. 深度学习已经是当前教学研究的一个重点，而让学生进入深度学习的轨道，则需要教师提供基本的策略予以支撑. 笔者在理论与实践研究的基础上，提出如下四个策略，供同行们批评指正.

日常浅层次学习反思策略

要想让学生走向深度学习，首先要让学生认识到自己所处的地方是不是深度学习. 事实证明，绝大多数情况下，学生都处于浅层次学习的状态，只有让他们认识到这种状态并引起重视、引发反思，才能让深度学习具有一个坚实的基础. 这里需要指出的一个逻辑关系是，并不是说我们推进学生的深度学习，学生就能一直处于深度学习的状态，事实上很多时候由于学习习惯以及教学情境的影响，学生很多时候仍然处于浅层次学习的状态，但只要学生具有反思自身浅层次学习的意识与能力，深度学习就有可能发生.

比如说在“椭圆”这一内容的教学中，常常需要通过例题来巩固学生对椭圆概念的掌握. 譬如这样的一道例题：已知一个油罐的横截面为椭圆，它的焦距是2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和是3 m，求这个椭圆的标准方程.

这是一个最基本的题目，其指向学生对椭圆概念的理解. 通常情况下，思路是让学生先设出两个焦点F1，F2，然后借助于平面直角坐标系的x轴和y轴，并结合椭圆中的数量关系去建立椭圆方程. 事实上，学生在学习的过程中常常处于一种“高仿”状态，他们就是根据椭圆的标准方程，然后将题目中给出的数据代入，他们也知道只要求出标准方程中的a值和b值，就可以得出标准方程了.

这样的解题过程在笔者看来就是浅层次的学习状态，而需要让学生通过反思认识到的是：其一，机械地根据标准方程去求a值和b值，不是求标准方程的出发点；其二，在此问题解决的过程中认识不到作为实物的油罐外形与椭圆的关系，那数学知识的迁移运用就不可能真正发生；其三，问题解决之后必须要有一个总结的过程.

之所以需要学生有这样的反思认识，是因为浅层次学习状态最容易出现的情形就是简单模仿而忽视了数学本质，而理解数学及其课程本质，是深度学习的最基本的条件. 同时，在数学学习的过程中，学会反思自己的学习过程，也是深度学习的必要条件.

建立深度学习认同的策略

深度学习对学生最大的挑战在于学习态度与习惯的认同，因为从学习付出的角度来看，浅层次学习只需要学生打开视觉通道和听觉通道即可，这种被动性很强的学习其实需要的思维量较小，因此学生的思维成本并不大；而深度学习则非如此，其需要学生将思维的触角伸向数学知识及其运用的每一个角落，尤其是要在已有问题的基础上做出范围尽可能广、层次尽可能多、深度尽可能深的探索，因而学生的注意力常常处于高度集中的状态，大脑运转也就意味着精力的付出，因而学习成本要远高于浅层次学习. 当浅层次学习在通过重复训练也能获得较好的学习效果时，学生往往不认同、不接受深度学习. 也因此，帮学生建立深度学习的认同策略，就显得非常关键.

譬如上面所举的椭圆例题中，笔者以为需要让学生建立的认同感是：其一，将生活中油罐与椭圆知識发生联系，反映的是数学与生活的联系，而且这里体现的其实是数学知识对生活产生的作用（油罐设计成椭圆截面的原因不赘述）；其二，求椭圆标准方程的基本思路必须明确，固然本题可以通过设椭圆的标准方程并通过代入数据得出标准方程，但更需要看到的是建立椭圆标准方程的时候体现的基本要素，如直角坐标系的建立等，本题根据生活实际将椭圆平放时的焦点落在坐标系的x轴上是一种自然选择，那如果是落在y轴上结果又是如何呢？这样的问题实际上是思维发散的一种体现，也是将问题的思考引向深入的重要策略.

深度学习的认同本质上来源于学生对数学学习本质的把握，说得通俗一点，就是在数学学习中是模仿还是创新. 不可否认的是，数学知识的构建往往是在教师主导下进行的，因此模仿是必然的；而数学知识的应用则是需要一定程度上的创新思维的，是需要进行思维发散的. 实际教学中，需要让学生认识到只有思维深度起来，对数学学习的理解才会深刻，才能保证自己在陌生的情境里遇到新问题会运用已有的知识去解决，而这正是很多学生在数学学习中遇到的困惑. 帮学生解决这个困惑，可以让学生逐步形成深度学习的认同感.

数学研究重点突破的策略

深度学习的一个重要的着力点就是学习重点与难点的突破，高中数学中重点知识往往是在整个知识体系中起到联结作用的知识，而难点往往是学生因为经验不足、知识体系不完善等原因而形成的信息加工困难的地方. 让学生进入深度学习的状态，重要的抓手之一，就是引导学生去突破学习过程中的重点与难点.

经验表明，在引导学生突破学习过程中的重点与难点时，是有一定的模式可循的，将学生真正置于学习主体的地位，让学生通过一定的模式来展示自己的学习收获，往往就可以让重点得到确认，让难点得到突破. 在“双曲线”这一内容的教学中，有这样一道例题用以帮学生对双曲线及其在实际情形中的应用生成更深刻的认知. 该例题是：已知A，B两地相距800米，一枚炮弹在某处爆炸后，在A点听到的爆炸声要比在B点迟了2秒，如果声速是340米/秒，求爆炸点可能在什么位置.

这是一个来源于生活实际的问题，学生在解决这个问题的过程中，困難在于无法根据自己的直觉建立曲线模型，而其原因又在于学生在加工题目提供的信息的时候，没有可靠的信息支撑他们的思维倾向于某一个曲线. 于是教师此处的教学重点就是引导学生根据问题中的信息去进行突破，学生可以想到的通常是在草稿纸上初步确定A和B两个点，而A处听到的时间比B点晚2秒，作为一个关键条件，在于让学生认识到这样的位置并非唯一的，若将其设为M点，那将这句话转换成数学表达形式，则可以得到MA-MB=340×2=680. 当然这里还有一个细节，比如说可以让学生思考这个点如果在A，B的连线上，则具体是什么情形，然后追问这个点有没有可能在AB之外，这样的循序渐进的思路，也是难点突破的另一种途径，适合中等生及学困生的理解. 而只要综合了上面这两个信息，则可以让学生感觉到解题的方向就是双曲线. 事实证明，这一难点一旦突破，此问题的解决也就比较顺利了.

仔细研究这一突破过程，可以发现难点突破的思路，其实就是在发现学生的已有基础与问题之间距离比较大的时候，想办法为学生的思维搭桥，而且这个桥形成之后，要让学生主动地往前走，而不是让教师拽着走. 譬如上例中，先找特殊点，再找一般的点，实际上就是解题思路的进一步细化，而让学生认识到特殊点的价值进而产生向一般情况的推理，就是学生思维逐步前行、难点得以突破的关键.

由点及面的体系建构策略

深度学习需要的是综合能力，综合能力离不开知识体系的构建，囿于应试，学生对某一知识点通常比较重视，而对知识体系往往比较忽视. 要想让学生乐于主动地去构建知识体系，教师也必须讲究策略.

经验表明，除了让学生认识到知识体系的价值（对解题有用），从而产生构建知识体系的动机之外，具体的构建策略也是学生所必须掌握的，实践中笔者发现从点及面去逐步形成认知体系，是有效的策略. 比如说在“圆锥曲线的统一定义”这一内容中，根据动点P到定点F的距离与其到定直线l的距离之比的大小关系，可以将椭圆、双曲线和抛物线统一到同一个定义系统当中，这样学生对这三种曲线的理解就不是分裂的，而是统一的. 在这里，点P与定点的距离与其到定直线l的距离的比值就是一个点，而三种曲线就是一个面. 由点及面的思路一旦建立，深度学习就发生了.

总之，认知体系一旦得到发展，学生对数学知识之间的联系的认识就会更深刻，运用起来也就会更加娴熟，而这，就意味着真正的数学能力可以得到提升，核心素养可以得到培育.