“方程的根与函数的零点”教学分析与建议

袁亮

[摘 要] 本文主要通过对人教版A版课标教材必修1“方程的根与函数的零点”章节内容从问题引入、思考题设置、探究栏目安排、例题选择等方面进行解读分析，并提出结合课标要求、教材编者安排意图的教学设计和建议.

[关键词] 对话教材；意图分析与建议；教学建议

恩格斯说过“数学是研究数量关系与空间形式的科学”，在这个角度下，“数形结合”是联系两者的必要思想，同时也是解决诸多数学问题的有力工具. 在很多高中学生学习三年后只知“数形结合”四字而不知其意，更别说对“数形结合”思想方法的掌握，这与我们教师平时教学过程中只讲是什么不讲为什么，重概念的理解与应用，不重概念的形成过程有关. “数形结合”作为高中数学的重要思想方法贯穿始终，同时与数学知识唇齿相依，紧密联系，在人教版A版课标教材必修1“方程的根与函数的零点”章节中编者就有意向我们展示“数形结合”思想的重要性.

“方程的根与函数的零点”是函数的具体应用之一，与人教版A版大纲教材相对比，这是一个新增内容，从教材的编排就知“数形结合”思想的重要性可见一斑. 因此，笔者将在本文中首先通过对话教材，分析教材意图，再根据教材意图分析对教材编写与教学提出相应的建议，与同行们交流讨论.

对话教材

1. 思考题的意图分析

教材选择一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，问题背景贴近学生的最近思维发展区，同时也体现了数学知识的发展是自然的特点.

对于一元二次函数作图时，需要确定几个基本信息：开口、对称轴、与坐标轴的交点. 在计算一元二次函数与坐标轴的交点坐标时，则需要计算对应一元二次方程的根，这既使得发现方程的根与其对应函数与x轴交点的对应关系变得自然、不曲折，同时也使得解决函数的零点就是求解方程的根的思路很清晰，這样的编排让学生的思维遵循着发现问题并解决问题的合理逻辑.

2. 图3.1-1的编排意图分析

紧接着教材给出了三幅具体二次函数的图像如下图3.1-1：

三幅图呈现的是同一开口、对称轴，分别与x轴分别有两个、一个、零个交点的三个二次函数，它们分别是y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3，三个二次函数图像可看作是同一个二次函数图像上下平移后的三个不同位置，任意一个二次函数在其定义域内必有一个极大（小）值. 观察三幅图可发现函数极值点的位置会影响函数零点的个数，由此可见，教材编写的意图在于，结合三幅具体二次函数的图像，让学生认识到函数零点与函数性质之间的关系，也为解决函数的零点个数问题从函数图像的角度解释了函数的性质——单调性、极值性的作用.

在这里“数形结合”思想既体现了从抽象到具体，从具体再到一般的认知过程，又让学生感受到了“数形结合”在解决函数问题的大用——一图胜千言.

3. 探究栏目的编排意图分析及建议

教材在得到了方程的根、函数的零点、函数图像与x轴的交点三者关系等价之后，就设置了如下的探究栏目.

教学建议

根据以上分析，现对“方程的根与函数的零点”提出以下教学建议：

1. 新课引入

我们在初中数学中接触了三个一元二次：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数，那么它们之间有着怎样的关系呢？不妨我们先讨论其中两者的关系，给出教材中的思考题.

教学分析与建议：以上引入的目的在于，二次函数是初中数学重点内容之一，学生作二次函数图像观察方程与函数的关系是自然的，而且在函数图像之中也可以同时发现与一元二次不等式的关系. 把多个问题简单化，抽象问题具体化最直接有效的方法就是“数形结合思想”.

2. 新课教学

（1）方程的根与函数零点的定义教学：通过作一元二次函数的图像可以发现，一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式的解就是对应二次函数函数值为正（负）时点的横坐标范围，根据以上关系可得到研究函数零点的必要性.

教学分析与建议：作图规范准确是“数形结合”思想方法运用的基础，同时作图过程可充分让学生产生基本活动经验，更加明确函数图像与方程、不等式之间的对应关系.

（2）函数零点存在定理的教学：既然方程的根与函数零点可实现等价转化，那么在作一个函数图像时该怎样去确定函数零点所在的位置（区间）呢？下面我们就对函数零点所在位置作进一步探究.

教学分析与建议：在这个探究中，我们可以引导学生带着问题解决问题，在确定连续函数在闭区间的端点值异号有零点后，进行如下问题串式探究：①连续函数在闭区间的端点值不异号时，是否意味着函数没有零点？②如果在上面问题中函数有零点，有多少个？③那么如果函数满足了函数零点存在定理，零点个数情况又怎样呢？④从以上几个问题中你是否可发现影响函数零点的因素是什么？⑤在函数满足零点存在定理的条件下，函数的零点所在的区间是否可进一步缩小，怎么更有效率、更方便地缩小？

通过以上的问题串可以“逼”着学生的思路有方向的纵深，这样既是一种自主地学习，也可以培养学生在自学过程中习惯思维.