基于教材创新设计 拓展课堂教学维度

李波　杨春权　张晓斌

摘 要：在数学教学中，教师对教材的作用要有清晰的认识，不能照本宣科，不能拿来主义.教师要尊重教材，又不能拘泥于教材，特别是在教学设计环节中，在教材原有设计基础上，必须融入教师对章节知识的理解、对知识生成的还原、对知识体系的架构.

关键词：不等式；类比推导；思维导图

“教学是一门遗憾的艺术”，无论在课前设计多么完美，课后反思都感觉有遗憾之处.因此，我们在教学设计中不断思索、在教案设计中不断取舍，教师整个教学常态是在不断思考中不断改进.在不等式第一课时的多次教学实践中，我们就一直有这样一个梗：如何设计构思才能使知识衔接自然，不等式推导合情合理，教材使用得当等一系列问题需要处理[[1]].借助于市区级中青年高中数学教师优质课大赛的契机，我们对不等式第一课时教学构思有了全新的思考，以“基本不等式关系探究”为题进行了课堂教学，下面就教学过程构思、设计意图进行深度说明.

一、教学引入

生活中充满不等关系，数学中的不等关系我们很早就有接触，如向量加减运算“三角形”法则中向量模的大小关系，在本章节就不等式作专题介绍，如不等式性质、比较大小方法等进行研究，我们发现不等关系中存在一些恒定的关系，比如有些式子本身就具备了保号的功能，如[|x|≥0，x2≥0，x≥0，x2+x+1≥14，（a±b）2≥0]等，在以上式子中，完全平方關系的结构是我们所熟悉的，由此，我们从这里开始探究.

【设计意图】引入部分首先是研读教材的处理方式.人教版A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》从第24届数学家大会会徽“赵爽弦图”为开篇，许多“基本不等式第一课时”的优质课以及自己曾经的教学也都这样引入.这“千篇一律”的引入启发了我们的思考，我国最早的一部数学著作《周髀算经》中的赵爽弦图，是中华文明在数学发展上的最好体现，教材的呈现对中学生数学文化熏陶、培养中学生爱国情怀有积极推动作用，但作为不等式的引入有点突兀，首先与教材章节结构（第一节不等关系与大小比较、第二节一元二次不等式的解法、第三节简单的线性规划、第四节基本不等式）衔接不够，前面三节都在讲不等式，若上课直接引入就介绍赵爽弦图及背后隐含的不等式，会造成学生的困惑：赵爽弦图及背后的不等式固然重要，但是除了大数学家赵爽可以这样去思考构图，谁还能想到这样去构造图形？而且构造的图形恰好能表达出我们需要的不等式？这样的引入与前面章节的衔接点在哪里？这就造成章节知识衔接不自然.因此，从前面章节的不等关系入手，在不等关系中寻求恒定关系（如保号功能），以最熟悉的完全平方式结构为切入点.

二、探究过程

（一）探究一：联想比较

由前面知道[（a±b）2≥0成立]，[则]

[（a+b）2=a2+2ab+b2≥0]，[（a-b）2=a2-2ab+b2≥0]，从这里发现有相减的式子，联想到作差法比较大小，可变形为：

[（a-b）2=a2-2ab+b2≥0?a2+b2≥2ab]

在完全平方式结构里，通过前面章节的不等式关系培养的直观敏感性，发现了隐藏的[a2+b2]与[ab]的关系，即两个数的平方和与乘积的关系.

重要不等式1：[a，b∈R]，[ a2+b2≥2ab]（当且仅当[a=b]时，[a2+b2=2ab]）.

【设计意图】保号功能的拓展，由学生联想得到重要不等式1，知识过渡自然，学生理解层次严谨，通过对式子结构分析，为探究二打下基础.

（二）探究二：类比推导

从式子[a2+b2≥2ab]两端的构成元素发现：[a2]与[a]，[b2]与[b]呈现的平方关系.我们联想到其他的平方关系：[a4]与[a2]，[a]与[a]..

因此，以上式子可以推广为：[a4+b4≥2a2b2]，高次不作具体研究.

[a+b≥2ab]，这里根式具备隐含条件的特征，重点研究.

当[a，b∈[0，+∞）]时，[a+b≥2ab]（当且仅当[a=b]时，[a+b=2ab]），这是由完全平方式结构类比得到，同时通过移项构造完全平方式可证明结论正确.对此公式进行简单变形得：

重要不等式2（均值不等式）：[a，b∈[0，+∞）]时，[a+b2≥ab]（当且仅当[a=b]时，[a+b=2ab）].

联想到初中数学平均数的知识，我们给出算术平均数[a+b2]，几何平均数[ab]的定义，此不等式总结了两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数，通常也称为均值定理.同时，不等式典型的结构特征，也可以使我们联想到数列知识，两正数[a，b]的等差中项为[a+b2]，等比中项为[±ab].这个不等式中[a+b]与[ab]的关系，其实质是两个数的和与乘积的关系.通过初中的平面几何知识，联想到矩形的周长与面积问题，这就给此不等式赋予了一定的几何意义.

【设计意图】我们的教学没有像原来那样严格照搬教材模式，把均值定理作为第一课时的唯一重点.均值定理是在不等式关系推导过程中得出的一个重要不等式，是与前面不等式章节内容顺序衔接的，是不等式演变而自然生成的，不是刻意为之.对均值定理进行过程化介绍，它并不是本节课的唯一目的.同时式子结构特征与数列等差（比）中项、初中矩形的周长与面积的联系紧密，有利于学生思维体系建构.

（三）探究三：不等关系的统一

由[a2+b2≥2ab?a2+b22≥ab]，[a+b≥2ab?（a+b2）2≥ab].

思考1：不等式的几何模型，在教材中是如何体现的？

思考2：能否判断[a2+b22]与[（a+b2）2]的大小关系，上面两个式子是否可以统一？

由作差法：[a2+b22-（a+b2）2=（2a2+2b2）-（a2+2ab+b2）4=（a-b）24≥0]，

即[a2+b22≥（a+b2）2]（[a，b∈R]，当且仅当[a=b]时，[a2+b22=（a+b2）2]）.

这样把[a2+b2]，[a+b]与[ab]三者建立了联系：[a2+b22≥（a+b2）2≥ab]，从而有：

重要不等式3：[a2+b22≥a+b2≥ab].

左边不等式的条件：[a，b∈[0，+∞）]，当且仅当[a=b]时，[a2+b22=a+b2]；

右边不等式的条件：[a，b∈[0，+∞）]，当且仅当[a=b]时，[a+b2=ab.]

重要不等式3成立的条件：[a，b∈[0，+∞）]；取等的条件：当且仅当[a=b]时，两个数的平方和、和与乘积建立了联系.

【设计意图】对教材中“赵爽弦图”“问题探究”的应用，是重要不等式1、重要不等式2的几何模型的根本体现，是在深度理解教材的基础上，在教学设计上的突破创新.从不等式结构特征入手，探寻不等式之间的联系，有利于学生逻辑推理思维的培养.重要不等式1与重要不等式2的类比推导、不等关系的统一，从侧面也体现了数学的“和谐之美”.

（四）探究四：不等关系的拓展

重要不等式3能否拓展？[a2+b22≥a+b2≥ab≥___].

由探究一的完全平方式可以得到[a2+b2≥2ab]，

由探究二，类比推出均值定理[a+b2≥ab]，要变形出[ab≥____]，从结构相似度上看，均值定理具有可行性，要构造[ab≥____]，因此，在[a+b2≥ab]两边同时乘以[ab]得[ab?a+b2≥ab?ab?ab≥2aba+b.]

为了公式简化，方便记忆，再次变形得[ab≥21a+1b]（[a，b∈（0，+∞）]，当且仅当[a=b]时，[ab=21a+1b]），从而有：

重要不等式4：[a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b].

通过探究，我们建立起了两个数（从探究一的实数到探究二、三的非负数，再到探究四的正数）的平方和、和、乘积与倒数和的关系，这四者间的大小关系，任意两者间的定值与最值关系，呈现的关系相当明确，可知一（定值）求三（最值）.因此，我们在不等式的应用时，必须搞清楚其成立条件：[a，b∈（0，+∞）]；定值与最值关系；取等条件[a=b].简称“正、定、等”.

【设计意图】对式子平方和、和、乘积结构特征的拓展，对变形技巧有一定要求，同时也给学生展现了数学公式变换的微妙.让学生在不等式的应用中，敢于思考，敢于尝试一种探索，这也对公式的整体结构特征有了根本的了解.

三、不等关系的应用

例[1] 求函数[y=x+1x]的值域.

练习：求函数值域：1.[y=x+1x+1（x>-1）]；2.[y=x2+5x2+4].

例[2] 矩形长为[a]，宽为[b]，则

1.周长[l=_____]，面积[S=_____]；

2.若周长[l]为定值时，面积[S]有最___值，为_____；

3.若周长[l]为定值时，面积[S]有最___值，为_____.

课后思考：

1.若[a，b>0]，[a+b+ab=2]，则[ab]有最___值，为____，取最值时[a=____ ，b=______]；

2.若[a，b>0]，[a+b=2]，则[a2+b2∈______].

【设计意图】例1主要考查公式的应用与“耐克函数”图象的统一；练习主要考查公式的变形技巧、“正、定、等”条件的应用及函数的定义域与值域的关系.例2主要体现几何模型的认识，周长与面积，与初中知识联系紧密，来源于教材，又不同于教材的设计.课后思考1考查学生对不等式结构特征的转换，课后思考2让学生体会到重要不等式应用的局限性.

四、总结：不等式关系思维导图

本节课以完全平方关系为切入点，不断深入，把基本不等式之间的关系进行重点探究.在教学设计上立足于教材体系，又对教材设计全新架构：其一，引入设计起点较低，与前面章节衔接到位，符合学生思维最近发展区的需要；其二，把均值定理与教材习题的重要不等式，两个课时的内容，以探究形式用一个课时完成，遵循了知识生成发展规律；其三，对教材材料处理如“赵爽弦图”“问题探究”等，在教学设计中以几何模型探究形式呈现，而不是简单地引入呈現，让学生对中国古代数学发展产生由衷的敬佩之情，提升学生对数学文化的认知；其四，在不等式的应用中，展现了求最值的快捷性、求取值范围的局限性；最后，思维导图的呈现，让学生对不等式推导流程再一次梳理深化，所谓“知其然，更要知其所以然”，同时在不等式推导的过程中，对学生直观想象、运算能力、逻辑推理等数学核心素养的培育是潜移默化的，使课堂教学的维度得到有效拓展.

参考文献：

[1]李波，唐义恒.以研读教材为基点 拓展知识建构体系[J].中学数学教学参考（上旬），2017（8）：27-30.