常数列在等比数列求和中的应用与推广

赵圣涛

(山东省淄博市淄博中学 255000)

一、方法的提出——等比数列求和公式的推导

已知数列an是首项为a1，公比为q(q≠0)的等比数列，求该数列的前n项和Sn.

解(1)当q=1时，易知Sn=na1.

综上，由(1),(2)可知，等比数列前n项和的公式为

因为an=a1qn-1，所以上面的公式也可写成

因上述推导过程中的关键是如何构造常数列，所以本文将该方法称之为构造常数列法，该方法的特点是思路简洁，没有繁琐的运算，易于理解.

二、方法的推广

1. 问题提出

在数列求和的教学中，经常遇到如下题型：

已知数列an满足an=bncn，其中bn是公差不为0的等差数列，cn是公比不为1的等比数列，求数列an的前n项和Sn.

对上述数列an，结合自身特点，通常称其为等差乘等比型数列. 既然构造常数列法能在等比数列求和中应用，那么能否将该方法推广到等差乘等比型数列求和中去呢？经研究，这是切实可行的.

2. 问题解决

不失一般性，设等差乘等比型数列an的通项公式为an=(kn+d)qn(k≠1且k≠0，q≠0且q≠1)，求数列数列an的前n项和Sn.

该方法思路清晰，运算量小，运算技巧远低于错位相减法和文[1]中所介绍的方法，有较强的实用性和可操作性. 同时该方法和常数列紧密地联系在了一起，进一步深化了人们对常数列的认识与理解.

三、方法应用