起始课中培养数学核心素养的实践与反思

狄理磊

[摘 要] 发展学生数学核心素养已成为数学教学的一个重要目标，而起始课又影响着学生对本章的认识与学习的热情，如何在起始课中渗透数学核心素养培养将对整章的后续发展起着重要的作用. 笔者在《数列的概念与简单表示法》的教学实践基础上对此进行了若干思考以求教于同仁.

[关键词] 核心素养；数列；起始课

问题的提出

核心素养已经成为当今教育领域的一个热门话题，那么什么是核心素养？《中国学生发展核心素养》中指出：“核心素养是指学生接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力……”它的获得是后天的、可教可学的. 那数学核心素养又是什么？王尚志教授在解读核心素养的报告中提到：“高中数学要发展学生的数据分析、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等核心素养，学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界.”

而教材每个章节的起始课又影响着学生对本章的认识与学习的热情，如何在起始课中渗透数学核心素养培养将对整章的后续发展起着重要的作用.笔者在一师一优课中刚好上了一节《数列的概念与简单表示法》，在备课与上课的过程中产生了几点认识，以求教于同仁.

实践片段摘录

本课围绕“为什么要研究数列？”“什么是数列？”“怎么研究？”这三个问题展开，摘录几个片段如下：

片段1：从生活所见中引出课题，激发学生的研究热情

放映PPT（根据章前语中的内容搜集的与斐波那契数有关的树与花，含背景音乐制作的PPT），约1分钟.

师：在如此美丽的自然美景中，大家看到了什么？

生：树、花、草地……

师（微笑）：你们看到了树，我也看到了“数”. （板书《数列的概念与简单表示法》这个课题的第一个字“数”）

学生先是一愣，然后会心地笑了.

师（指着PPT中的图片）：这几棵树的分杈数都是由1枝分成2枝，再分成3枝，再分成5枝，再看看这些花的花瓣数.

生1：都是5瓣的.

师：不错，那这些数的背后是否有着什么规律呢？这就是我们这一章将要接触到的内容——数列.

师：数列不只是在自然界中有它的身影，在现实生活中也有着它的用处（从自然界研究与生活需要的角度回答为什么研究数列），今后我们将不断地揭开它神秘的面纱，那么什么是数列呢？让我们继续用数学眼光来看下面两个情境：

情境一：树木的分枝有着一定的规律，图1是一棵树从小树苗开始到大树的分枝情况，我们从数学的角度来看，你看到了哪些数？（延续引入时的话题，得出斐波那契数列，既作为这节课的一个实例，也为下节课的递推公式埋下伏笔）

情境二：认为“万物皆数”的毕达哥拉斯学派很注意对数的研究，他们常用鹅卵石摆成的图形来表达数，并把数分成三角形数、正方形数等，如图2所示，这些图形依次对应了哪些数呢？（除了引出数列，还作为本节课穿插数学史教学的一个载体）

学生很容易抽象出相应的数列（老师板书）：

1，1，2，3，5…

1，3，6，10，…

1，4，9，16，…

师：毕达哥拉斯学派是由毕达哥拉斯创立，他们认为数是宇宙万物的本源，事物的性质是由某种数量关系决定的，他们最早研究了数与音乐的关系，我们熟悉的勾股定理、黄金分割、无理数都与他们有关，而无理数的发现又给了他们致命的一击，从而引发了第一次数学危机，有兴趣的同学可以在课外查找相关资料并阅读. （介绍毕达哥拉斯学派时故意不说明他们的万物皆数是指有理数，使学生在听到给他们致命一击时产生认知冲突，引起研究兴趣，而音乐与数的关系以及为下面举例时打下伏笔）

师（指着学生写出来的数）：你能写出它们接下去一项吗？

生2：分别是8，15，25.

师：很好，我们再来看第一列数，我们预测出了它的后一项，也就是说我们预测了第六年的情况，如果我对调一下它们的位置，即1，1，2，5，3，你還能得到刚才的预测吗？（PPT演示效果）

生：不能了.

师：那我们刚才的预测是依赖于这几列数的——？

生：顺序.

师板书定义，然后通过三个追问使学生加深对数列的理解. （过程略）

片段2：根据数列的定义，发现身边的数列

师：现在我们已经知道了数列的定义，你能再举一些与我们生活相关的数列吗？

学生讨论举例了有关成绩、身高、体重的例子.

师：大家的例子都很不错，我再补充两个，开始时的背景音乐《漫步神秘园》的第一句简谱中对应的数是1，2，3， 2，1，2.（同时唱出）

学生表现得非常有兴趣.

师：还有介绍毕达哥拉斯学派时提到的无理数，它虽然不是有理数，但我们可以用有理数来估算，其中一种方法就是用两个数列来估算. （此时再补充教材中用于估算的两列数，然后再利用得到的例子对数列进行分类，过程略）

片段3：通过研究数列本质，了解数列的研究方法

师：刚才有同学说数列的通项公式和函数解析式差不多，那么，数列是不是函数呢？请同学们对这个问题分组讨论，然后你们再推荐一位同学代表发言.

全班共分成了6组，经过一番讨论后各组都发表了观点，整理如下：

组1观点：数列是函数.他们从函数的定义分析，认为数列是符合函数定义的，可惜的是发言的同学表达得不太清晰，所以没有影响到后面几组同学的观点.

组2观点：数列不是函数.学生原意：“数列中的数可以重复，与函数定义中有且只有一个y与x对应有矛盾.”但她的话刚说完，就遭到其他组同学的反驳.

组3的观点恰好是支持组2的.他们是从解析式角度说明，学生原意如下：“在刚才举过的数列中，我们知道有些数列是没有解析式的，而函数是有解析式的，所以数列不是函数.”

组4从图像的角度说明数列是满足函数定义的.

组5认为数列是定义域为正整数的函数.

组6认为是函数.发言的同学对组3的发言进行了反驳，学生原意：“虽然有些数列得不到通項公式，但可以在一定范围内得到通项公式，可以是分段函数.”

之后笔者进行了总结，把学生表达不清的地方重新进行了修改，并引导学生从定义域、图像、研究重点、函数模型这四个方面理解数列的函数性质，最后得出结论. 定义域：正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n}）；图像：一群孤立点；研究重点：以自变量从小到大的顺序排列的函数值；函数模型：描述离散型问题的一类模型.

师：现在我们知道了数列是一种离散型的函数. 之前我们学习的各种函数都是连续型的，它们可作为描述生活中的一些连续型问题的模型，而数列可以作为离散型的模型，这样就使我们用数学描述生活问题的模型更加完善. （进一步回答了为什么要研究数列）

师：既然数列是函数，那么今后我们就可以用研究函数的方法来研究数列；同时它又有着“离散”的特殊性，今后我们还能体会到数列区别于连续函数的研究方法. （回答怎样研究）

基于核心养的反思

1. 研究好章头语，引领整章教学

各版教材都有章头语与章头图，它来源于现实生活，回答了研究该章节的实际意义，介绍了本章的内容结构，反映了这一章内容的本质.用好章头语可以在一定程度上使数学成为一门具有生活韵味的学科，使学生知道“为什么要学”，初步了解本章结构，并体验从实际生活中抽象出数学内容的抽象过程.

笔者对章头语的处理分两个部分，一部分是把数列章头语中“大自然是懂数学的”这部分设计为章节引入，以回答“为什么要学”，同时激发学生学习兴趣，通过“树”与“数”谐音的巧合引导学生用数学的眼光看世界；另一部分是把关于数列的本质放在概念得出之后进行讨论研究.

对此笔者对章头语的使用有一个想法，就是章头语的应用可分为明暗两线，明线是指对生活实际部分，即回答“为什么要学”这一部分的处理. 这部分素材、内容可加工成课堂导入，在让学生了解“为什么要学”的同时激发学生的学习兴趣，同时又可渗透数学抽象这一数学核心素养的培养；暗线是指关于本章结构与本质的内容的处理，根据各章特点不一定在启始课中呈现给学生，但研究好它，把它贯穿整章教学，将有助于我们教师在教学中抓住章节本质，把握教学方向.

2. 密切联系生活，擦亮数学之眼

数学是一门很有价值的学科，而为什么我们学生甚至很多教师都觉得数学没有用呢？主要是我们没有培养好学生的数学眼光. 著名的哥尼斯堡七桥问题，欧拉以敏锐的、眼光强烈的数学意识以及高度的抽象能力，把它转化为“一笔画”问题；重庆师范大学黄翔教授曾用统计的方法对《义勇军进行曲》的节拍进行分析，解释了国歌为什么能让人如此慷慨激昂. 他们都有很好的数学眼光，很高的数学素养，令人羡慕不已.

“学会用数学眼光观察世界”是数学课程的最终目标之一，它是后两个目标“用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的基础，而实现这一目标就需要在平时课堂上结合生活实际，通过提问、点拨、创设情境等方式引导学生去发现，去擦亮他们的数学之眼.

本节课中笔者尝试通过章节引入、创设情境、学生讨论举出身边的数列等环节让学生体会数学来源于生活，是可亲近的；又通过补充举例学生没有意识到的例子，如音乐中的数列，到最后讲解教材例1的两个摆动数列通项问题时提到了它们对应的物理意义（有阻尼振动与无阻尼振动），使学生产生了一种数学无处不在的感觉，有助于启发学生用数学的眼光去看世界.

通过这个尝试，笔者认为如果今后在备课中认真研究教材，发掘教材中蕴含的与生活相关的内容，然后融合到课堂教学中，慢慢渗透到学生的思想中，是否能够帮助学生形成用数学眼光去看世界的意识？

3. 开展交流讨论，培养数学表达

王尚志教授在解读核心素养的报告中提到，每个数学核心素养水平的阐述，都会涉及思维与表达、交流与反思.笔者的理解是，学生要表达自己对某个问题的想法，需要对问题进行数学抽象、直观想象、逻辑推理等处理，而在听取他人的表达时又需要理解别人的表达并进行分析. 根据布鲁姆认知目标分类的七个层次“知道——领会——应用——分析——综合——评价”，学生在交流过程中，思维层次可以上升到后三个层次，所以这个过程可以很好地反映出学生的数学素养，同时也可以让学生的数学素养得到培养与提高.

本节课的难点在于数列的函数本质，所以这是一个要花时间的地方. 为了让学生更好地理解这一本质，笔者在这一环节开展了分组讨论，通过学生的发言，既可以暴露出学生存在的问题（例如语言表达不清晰、函数概念掌握上存在偏差），又可以展现想法上的一些亮点（如从图像上进行对比）. 在学生充分表达后，教师对学生的发言进行总结，对存在问题的地方进行修正，对好的发言进行肯定. 这样学生在掌握知识的同时数学素养又可以得到培养.

在起始课中根据教材实际，对重点知识或者难点知识开展讨论，既可使学生理解、掌握这些知识，又能让学生的核心素养得到培养.

4. 适时聊数学史，了解数学发展

古语云：“以史为鉴，可以知兴替.”而数学史同样有着“镜子”的作用. 陈省身先生在为李文林先生的《数学史概论》题词中写道：“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤.”学生通过了解数学史可以激发学习兴趣，体验数学的魅力，学习数学家的精神，了解所学知识的来龙去脉，有助于从更高的角度理解所学的知识. 数学史还为学生提供了领会数学思想的台阶，因此，数学史的学习对于学生的数学素养的发展有着积极作用.

问题是教学内容的多与教学时间的少，以至于我们常常忽视了数学史的教学，就像本节课中涉及的毕达哥拉斯学派，这本是学生在初中就应了解的知识，但到了高中仍是知之甚少（通过课前了解，大多学生只知道毕达哥拉斯定理，而不清楚该学派及第一次数学危机）. 笔者以为是否可以根据每节课的实际情况，或是通过课堂介绍与课后作业相结合，或是把实例在堂上进行分析讨论等方法进行数学史教学. 本节课是利用教材的情境，适时介绍毕达哥拉斯学派及第一次数学危机，但并没有铺开讲，用了留悬念的方式，引起学生的兴趣，产生动力后通过作业的形式让学生进一步去了解.