基于范希尔理论的椭圆及标准方程教学设计

崔静静 赵思林

[摘 要] 基于范希尔理论对椭圆及标准方程进行“六步”教学设计：“看”—画”—“说”—“化”—“用”—“悟”，并说明其设计意图.其中，“画”用“如果将圆心‘分裂成两点，将得到什么样的图形”激疑；“化”用三种方法化简方程，方法二与前期所学的等差数列联系，化难为易，方法三与圆联系，温故而知新；“用”结合前面所学的知识，用五种表述方式表达同一个椭圆的轨迹方程；“悟”重在对本节课蕴含的思想方法进行提炼.

[关键词] 范希尔理论；椭圆；标准方程；“六步”教学设计

范希尔理论的简述

20世纪80年代，范希尔夫妇对学生的几何思维进行了大量的研究后，将五个思维水平合并为三个：[1]①直观水平：整体的认识几何体，具体指学习者根据几何体的外表来认识这些图形. ②描述水平：通过几何性质认识几何对象. ③理论水平：利用演绎推理证明几何关系，此时学生理解和接受了准确的定义.

针对五个思维水平，范希尔夫妇提出了五个教学阶段[2]，用于指导教师的教学. ①学前咨询：学生与教师就学习的对象进行双向的交谈. ②引导定向：教师为学生仔细安排活动的顺序，使学生认识到学习进行的方向. ③阐明：通过教师最低程度的提示，学生明确了词汇的意义，能够表达对内在结构的看法，开始形成学习的关系系统. ④自由定向：在这个阶段，学生碰到能以不同方式完成的任务.在寻找方法和解决问题的过程中，获得了经验. ⑤整合：学生回顾自己所使用的方法并形成一种观点，教师对学生理解的知识作一个全面的评述.

基于范希尔理论的教学设计

1. 椭圆及标准方程的“六步”教学设计与简略说明

基于范希尔理论下椭圆及标准方程的“六步”教学设计（或称“六环节”）的流程图，如图1所示，并对“六步”教学设计的含义作初步说明.

椭圆及标准方程教学设计中的“六步”是指：“看”—“画”—“说”—“化”—“用”—“悟”. 下面对这“六步”的含义作初步说明.

“看”是指观察现实生活存在的椭圆，渗透二次曲线与实际生产生活的密切相关的思想. 用问题“科学家们怎样精确地设计卫星的运行轨道”启迪学生思维，激发其爱国情怀，趁机引入课题.

“画”是指动手画出椭圆，有助于开发学生的发散思维和动手能力，小组合作的方式有利于提高学习兴趣和沟通交流的能力，培养学生的操作技能.

“说”是指师生间的互动，“说”有助于培养学生的语言表达能力. 通过前面的“看”和“画”两步后，通过师生间的“说”促进学生对知识的理解.

“化”是指化简前面师生间“说”出来的式子：PF1+PF2=2a，引导学生用三种方法化简式子，促进学生认知的全面发展和知识间的整合.

“用”是指应用，用数学知识解决新的数学问题时应当考虑如何用、何时用等问题.椭圆及标准方程应用非常广泛，这里不再論述简单地用定义，而将着眼点放在变用、创造性地用. 结合前期所学的知识，用五种表述方式表达同一个椭圆的轨迹方程，有助于促进新旧知识间的整合.

“悟”是指感悟数学思想.椭圆及标准方程蕴涵重要的数学思想，如笛卡尔思想、转化与化归思想、数形结合思想、方程的思想等.

2. 椭圆及标准方程的“六步”教学的实施建议与设计意图分析

依据椭圆及标准方程的“六步”教学设计，提出了如下实施建议，并对每一步都说明设计意图.

第一步：“看”.

让学生切实地感受到现实世界中存在着一些由运动所产生的椭圆.学生通过之前的经验已经形成了对椭圆的认知，也即是说学生已经到达了范希尔水平中的“直观水平”，那么该层次的教学设计就应该简单快捷.

教学设计：教师用多媒体呈现生活中常见的由运动产生的椭圆，比如“嫦娥二号”2010年在西昌卫星发射中心成功实施第二次近月制动的轨迹图；以及一些生活中的椭圆建筑物和常见的椭圆物体，比如鸟巢的外形、学校操场、环球中心的外部、女士佩戴的饰品、油罐车等. 那科学家们是怎样精确地设计卫星的运行轨道的？我们能否求出油罐车截面的方程？

设计意图：通过以上教学设计让学生对椭圆的外形及运动生成有一个整体感知的过程，并通过展示“嫦娥二号”2010年在西昌卫星发射中心成功实施第二次近月制动的轨迹图激发学生的爱国情怀，让其感知数学与实际生产生活有着密切联系，顺应教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加的数学文化的考查要求. 用多媒体呈现这些教学材料使得整节课饶有趣味，引发学生继续学习.

第二步：“画”.

学生此时能够分析构成椭圆的要素和特征，但不能给出椭圆的定义.通过“学前咨询”后，学生能够分析出椭圆类似于圆也有定点（F1，F2）和定长（PF1+PF2）. 该层次的教学设计主要通过教师的“引导定向”，让学生规范地画出椭圆，为得到椭圆的定义作铺垫.

教学设计：展示上面由运动变化而产生的椭圆后，教师首先引导学生回顾圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹，其中定点是圆心，定长为半径.并在几何画板上演示圆生成的过程，再由圆的定义去探索椭圆的定义，教师提出疑问：如果将圆心“分裂”成两点，将得到什么样的图形呢？

接下来，教师让学生拿出事先准备好的教学材料：一根细绳（无弹性）、一支笔、两个图钉，让学生6人一组试着画出一些他们可以画出的图形.

设计意图：由圆的生成过程和定义类比得到椭圆的生成过程和定义，是该教学设计的亮点之一，这种过渡和衔接自然，极易被学生接受，同时有助于学生组织和建构知识体系. 让学生画出他们可以操作得到的图形，有助于开发其发散思维和提高其动手能力，小组合作的方式有利于提高学习兴趣和沟通交流的能力.

在几何教学阶段“学前咨询”“引导定向”指导下的教学设计，学生此时的几何思维水平也发生了变化，他们此时已经能够掌握图形的粗略定义：椭圆是一个动点到两定点的距离之和为定值的点的轨迹，若要得到椭圆的精准定义有赖于进一步的教学.

第三步：“说”.

学生此时已经达到了“描述水平”，他们明白了圆与椭圆之间的区别与联系，掌握了建构椭圆所需的要素. 该步教学设计能为“理论水平”——演绎推理椭圆的标准方程作铺垫.

教学设计：教师引导学生对上面的小组活动进行交流、成果展示.以问题为驱动，逐步完善其对椭圆的定义.

问题1：通过上面的活动得到了哪些图形？你们又是怎么得到的？

预设答案：组1得到了椭圆，他们的做法是：用两个图钉固定住绳子，用笔勾紧绳子，转一圈后得到了椭圆. 组2还得到了圆，他们的做法类似于组1但只用了一个图钉. 组3得到了椭圆、圆、线段，当笔尖运动到图钉的位置时，即两个固定图钉之间的距离与整个绳长相等时得到线段. 组4得到了椭圆、圆、线段和扇形，扇形的得出与圆的做法类似，只是没有把一圈转完.

问题2：在椭圆的生成过程中，哪些量是不变的？哪些是变的？

预设答案：整个绳长是不变的，相当于是说椭圆上的任一点到两固定点的距离之和是不变的. 而在作图的过程中，笔是在不断变化的，相当于这个椭圆上的点是任取的.

问题3：椭圆是什么样的点的轨迹？

预设答案：任一点到两定点的距离之和为定值的点的轨迹. 此时对椭圆的定义并不完善，请同学们对比线段的得出情况，对椭圆的定义进行补充后与学生一同板书出椭圆的文字表述：平面内与两定点F1，F2的距离的和（2a）等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.符号表述：MF1+MF2=2a>2c.

设计意图：“说”致力于学生能用准确的数学语言描述椭圆的定义. 师生间的一问一答逐步完善椭圆的定义，为下一步“化”的顺利进行作铺垫. “说”能够锻炼学生的语言表达能力，使课堂氛围活跃.

第四步：“化”.

根据范希尔理论，学生此时能尝试着用演绎推理的方式证实其猜想，推理得到椭圆的标准方程，理解椭圆满足圆锥曲线的充要条件. 教师需根据“阐明”，即给学生提供最低程度的提示，让他们“自由定向”，自由探索，从而获得学习的经验.

教学设计：首先引导学生复习求曲线方程的基本步骤：①建系；②设点；③列式子；④化简；⑤证明.

让学生考察椭圆的几何特征，引导学生使用最简洁的建系方法，即建立以F1F2所在直线为x轴，与F1F2的中垂线为y轴的直角坐标系.

而该层次的教学设计重点就是如何在此处引导学生将上面的式子进行简化，教师先给学生一些时间讨论交流，然后重点讲解三种常见的技巧：①将根式变形后进行平方；②引导学生观察式子，与前面所学的等差数列联系，化难为易后再继续；③以F1（-c，0）为圆心，r为半径作圆⊙F1，再以F2（c，0）为圆心，2a-r为半径作圆⊙F2.

设计意图：这部分是“形”向“数”转化的重要体现，数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方式，它在中学数学中占有重要的地位，在日常的教学中教师要注意渗透该数学思想，让学生亲自动手去化简式子，锻炼学生独立解决问题的能力.使用多种化简方法是本节课的设计亮点之二，与之前学习的等差数列、圆建立起联系，促进知识间的整合和学生认知的全面发展，将知识学以致用.

第五步：“用”.

设计意图：这是本设计的亮点之三，上面五种表述方式表达了同一个椭圆的轨迹方程.教师根据“自由定向”，指导学生在寻找方法和解决问题的过程中获得经验. 在新知与旧知间架起一座桥梁，可能对学生来说辨析它们之间的关系具有一定的难度，但是这样的教学设计是很有必要进行的.

第六步：“悟”.

“悟”是对数学思想的领悟和提炼. 教师需在新课结束后引导学生分析本节课中主要有笛卡尔思想、化归与转化思想、数学结合思想、方程的思想等.

笛卡尔思想：几何坐标化、坐标代数化、代数方程化都体现着笛卡尔思想.

设计意图：教师根据“整合”，引导学生回顾本节课所涉及的思想、方法，并对学生理解的知识作一个全面的评述.依据《普通高中数学课程标准（实验）》提出的：“概念教学应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质. 通过典型例子……使学生体会蕴涵在其中的思想方法……”[4]

结语

人类对事物认识的一般规律通常是从特殊到一般，具体到抽象，恰好范希尔的几何思维水平理论就揭示了此规律. 笔者认为范希尔理论对理解学生的学习过程及指导教师的教学实践都具有重要意义，同时从目前的研究来看，范希尔理论的关注程度呈上升趋势，且在非几何领域的研究空间还很大.[5] 教师应该确定所教学生的认识状况进行因材施教.在本节课中，应将对椭圆概念的理解和转化为抽象的数学符号作为教学的重點，用多种方法化简得到椭圆及标准方程作为教学难点，领悟其中的数学思想、方法也是必不可少的，并引导学生在理解的基础上进行变用、创造性地用.

参考文献：

[1] 鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009：4-5.

[2] 鲍建生，周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海：上海教育出版社，2009：6.

[3] 贺明荣. 基于范希尔几何水平理论的椭圆及标准方程教学设计[J]. 数学通讯，2014，（5）：25.

[4] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[5] 卢道燕，邵利，彭文强. VanHiele理论在中学数学教育中的应用[J]. 中学数学研究，2016，（10）：10.