探多解优解法 寻变式促提升

杨虎

[摘 要] 数学习题课变式教学是数学教学中的一种重要课型，它注重学生纵横联系与一个“点”及“技能”相关的知识的培养，强调合作与探究，提倡同伴间交流、师生间互动. 数学习题课变式教学常常以一道或几道题为线索，引导学生进行习题变式，将某一点或一部分知识转化为数学学习的技能与技巧，从而培养学生的探索意识，发现问题，多角度思考问题的意识，优化解题方法，强化发散与聚合思维的提升，促进学生数学素养的提升.

[关键词] 多解多变；习题变式；提升素养

习题变式课是数学教学中的一种重要课型，它既不同于新授课，也不同于复习课.新授课教学目标更集中，只是解决知识上的一个或几个“点”；复习课是根据学生的基本情况而定，通过学生的再认识、再实践，进一步提高学生的自主学习能力和运用知识解决问题的能力. 而利用变式进行习题课则更应注重学生纵横联系与一个“点”及“技能”相关的知识的培养，强调合作与探究，提倡同伴间交流、师生间互动，以一道或几道题为线索，将某一点或一部分知识转化为数学学习的技能与技巧，从而强化发散与聚合思维的提升. 如果数学变式习题课教学拿捏到位、引导有方，那么对学生的学习往往能够起到良好的效果. 经验表明，让学生自主表达对变式习题课的理解，教师积极启发，给予学生必要的帮助，是一种行之有效的教学策略. 本文将一节以代数式的最值问题为线索展开的变式习题课教学的主要片段做一展示，并对数学变式教学进行思考，也是对笔者承担的2017年度甘肃省“十三五”教育科学规划立项课题“中学数学变式教学策略研究”在实践中的一次应用探索.

教学变式课题引入——一道竞赛最值题

师：同学们，今天我们将从一道代数最值问题开始这堂课的探究之旅，请同学们看下面的这道例题（板书）：

题目：（2016年甘肃省高中数学竞赛第1题）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值为__________.

众生：观察题目，进行思考.

师：有一类题目常会出现“最大”“最小”“最多”“最少”“至多”“至少”这样的字眼，这类问题被称为最值问题. 最值问题在历年的高考试题中也都有所涉及，数学竞赛中最值问题更是受到命题者的青睐，这道题目就是甘肃省2016年的高中数学竞赛题.作为最值问题它经常与函数、方程、不等式、向量、几何等知识交汇，以一些基础题或小综合的中档题出现. 由于其解法比较灵活，对综合知识及能力要求也较高，所以对最值问题的解决，需要掌握数学各分支知识，综合运用各种数学基本技能，选择适当合理的解题方法. 同学们觉得这道题目该从哪里入手比较好呢？

众生：应该利用基本不等式来解决……换元应该会更好……如何换元呢？

大家开始窃窃私语，有的学生跃跃欲试. 全国各地的中学生数学竞赛中，预赛的试题难度基本与高考试题难度相仿，特别是高考中的一些压轴题常常是竞赛一试试题改编或者由某一问演变而来，所以探索竞赛题对高考也是一种很好的指导，可以居高临下，占据制高点进行探究学习.

教学片段展示及感悟

1. 教学片段1：同合作共交流，探多解优解法

在数学教学中我们常常有这样一种理念，与二轮复习要把书“读薄”不同的是在一轮复习中更需要我们把书“读厚”，从一个点延伸到一条线，启发、引导学生探索，从一条线再到一个面，纵横联系使孤立的数学知识有机结合，探索不同的解题思路与解题方法，让学生感悟数学思想的博大精深.

师：请同学们自己先尽量用多种方法探索求解，然后按照我们以前上课时的分组在小组内交流，比较哪种方法好，比较自然.

众生：探索求解，小组交流，讨论.（教师巡视，指导）

师：下面请各小组选一名代表展示解法.

众生：积极思考.

生7的发言显然是受到生6的启发，在相互交流与讨论中，学生们的思想在碰撞，创新的火花也在不断显现，生8在与同学的讨论中得到了一种新颖的解法——和差代换法，得到了学生们热烈的掌声.

师：同学们展示的解法都很好，再想想有没有别的解法？

众生：摇头.

看着有些学生摇头，也有的学生又陷入沉思，欲言又止，笔者突然想起孔子提出的最佳教学时机：“不愤不启，不悱不发.” “愤”是学生对问题积极思考，急于解决而未能弄懂时的矛盾心理状态；“悱”是学生对问题已有所思考，想说又难以表达的另一种矛盾心理状态. 二者都蕴含着学生解决矛盾时的需要和强烈的求知欲，于是笔者借机引导，启发学生思考探索.

师：同学们可以从构造法这方面思考，看看有什么新的发现没有.

众生：构造？（沉思，交流想法）

师：是的，比如构造我们以往解决一些代数式问题时的方法——构造齐次式，或者从既可以像数一样满足“运算性质”进行代数形式的坐标运算，又可以利用其几何意义进行几何形式的恒等变换的“向量”入手呢？

众生：表情丰富，脸上写满了喜悦. （掌声）

师：同学们表现很棒！下面请大家对以上解法进行评价，看哪一种解法较好、较自然.

在学习过程中渗透进评价，可以激发学生的学习兴趣，让评价来促进学生的主动学习，同时通过解法的比较，培养学生的理性批判思维及养成解后反思的良好习惯.

生10（五组）：我认为一组和二组的解法较好，这是解决最值问题的常用方法，由均值不等式便可以消去项“xy”，化成关于“（x+y）2”的不等式，達到了化繁为简、化难为易的目的.

生11（二组）：我觉得三组的解法最简单，柯西不等式可以说是求解最值问题的一把“利剑”，只要配凑合理，运用得当，常常是“一招制敌”.

生12（六组）：我认为四组的解法较自然，这种解法虽然从代数换元入手，但是其实质是方程思想的体现，通过构造了一元二次方程，利用判别式使得求解思维常规化.

生13（一组）：我认为五组的解法中的和差代换法较新颖，同样是代数换元这里由于利用了和差代换，所以x+y还是可以用含一个变量a的式子表示，视角不同，换的“元”不同，效果亦然不同.

生14（三组）：我认为三角换元更好，通过对已知等式配方，创造了三角换元的条件，显然运算要比代数换元简捷一些，不失为本题的最佳解法.

生15（一组）：我们一组的构造齐次式求解更好，通过对“1”的代换，构造条件和问题的齐次式，转化为含有一个变量的问题，从而顺利求解. 当然在构造齐次式后也可以利用方程思想，由判别式求解.

师：同学们分析得很好，对每种解法分析理解得很透彻！通过比较、分析，其实每种解法各有千秋，他们分别是从不同的角度进行思考的，这也给了我们很好的启示：在解题时首先要认真审题，观察题目的特征，其次要结合自己的知识储备，灵活选取合适的解题方法，恰当运用数学思想来指导解题.特别是在复习阶段，知识高度交会，一道题目能够融入多个知识点，利用多种方法解决.可以说没有某道题的最好解法，只有每个人的自然解法，最优解法.

感悟：变式教学离不开师生的合作与探究，在合作与探究中一方面强调通过问题来进行学习，把问题看做是学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线；另一方面通过学习来生成问题，把学习过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，比如在本例中对这道代数式最值题解法的探究就是这节课的主线，由此引出了学生的探究之旅. 而在探究的过程中，教师要善于为学生提供尽可能多的机会引导学生探究，学生在独立思考的基础上，再通过与同伴的交流，共同讨论，相互启发，从而达到提升的目的；同时教师要给学生创造一个宽松、和諧、民主的心理氛围，给学生心理安全感，而心理安全、心理自由正是学生主动探索、合作交流的摇篮. 在变式教学中通过多解探索、变式探索灌输给学生必要的数学思想方法，因为数学思想方法是数学学习的灵魂，是对数学知识高层次的概括和抽象，利用数学思想方法来指导数学变式学习，可以提高数学教与学的效率，达到事半功倍的效果.但是数学思想不是游离于数学知识之外，而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程中的，这就要求教师在变式教学中要有目的地引导学生，师生合作、生生交流，让学生通过探思路、寻解法，展示思维的形成过程，对数学认知达到一个新的层次高度.

2. 教学片段2：顺势导试改编，寻变式促提升

师：刚才我们对这道题目的解法进行了探索、讨论、求解，下面我们来试着进行变式训练，看哪位同学编的问题新颖、独特.

众生：积极思考，探究. （教师巡视，时而回答学生提出的问题，时而参与学生的讨论、交流）

生16：改变题目的条件得到变式1：若实数x，y满足x2+y2+4x=-1，则x+y的最值为__________.

师：很棒，其他同学呢，请将改编的题目展示一下.

通过探索讨论，归纳整理，邀请变式题目编写比较有代表性的生17到黑板前展示：

生17：改变题目的问题得到变式2：若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x2+y2的最值为__________.

师：可以看出以上两位同学是从改变题目的条件与问题入手的，能不能将题目的条件与问题都进行改编呢？

生18：对题目的条件与问题都变化得到变式3：若实数x，y满足4x2+y2-xy=25，则3x2+y2的最值为__________.

师：很好，这几个变式都很有特点，请大家谈谈自己对这几个变式题解法的理解.

生19：通过初步试探变式1利用换元、判别式、柯西不等式、数形结合皆可解.

生20：变式2的解决方法更多，但是变式3除了利用换元与判别式外，其他方法不太好操作.

师：大家分析得很细致，再看看这几个变式题目解法的共性.

生3：以上3个变式题都可以利用换元法解决，所以通过换元思想，利用三角换元是解决以上问题较为“简单”的方法，也是通法之一.

众生：赞同生3的说法.

师：那几位同学利用三角换元对这3个变式题进行解答，展示一下.

师：很棒！在以上的变式探索中，同学们思维活跃，表现积极，充分发挥了你们的聪明才智，改编的变式题目都很独特，由于时间关系个别同学的成果还没有得到展示，课后我们再交流讨论.

感悟：“变式”在心理学认为，其含义是变换材料的出现形式.在教学中是指教师在引导学生认知事物属性的过程中，不断变更所提供的直观材料或者事例的呈现形式，使事物的非本质属性时隐时现，而本质属性保持恒定. 在本例中，通过改变题目的条件、改变题目的问题或者把题目的条件与结论同时改变，让学生由对一道题目的探索求解达到“会一片通一类”的目的，整个过程应遵循“目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新”的教学原则，以提升学生的创新意识和创新能力.

教学反思

1. 变式教学有利于师生优化解法增强解题能力

一题多解与一题多变是数学变式教学的有效模式，数学教学如果少了解题，就显得索然无味；数学教师如果不善于解题，课堂也会苍白无力，所以解题是数学教学少不了的元素.而于教师而言，进行解法探索、一题多解是教师优化解题、善于解题，提升教学基本功的有效手段；于学生而言，对解题进行全方位思考，对解法进行多角度探索、比较，有利于学生发散思维的培养.在本题解法探索中，作为教师还可从复数的角度，甚至其他高等数学知识层次再思考；从学生出发我们则更应该关注哪一种方法是相对简单的，哪一种方法是学生最容易想到的、最自然的、最优的. 简单可以以运算过程的繁简、思维含量的大小来衡量，自然解法则就因人而异了，与解题者的知识储备、经验等诸多因素有关，所以只有在一题多解、进行解法探索的过程中，我们才能体会、比较哪种解法较简单，哪种思路最能引起学生思维的碰撞共鸣而成为最优解法.

解法探索是寻求一题多解，变式探索是追求多题归一. 一题多解、一题多变也是很多教师平时解题教学较多采用的方法之一，特别是一题多变、多解归一，从一道题到一类题，从特殊到一般，在解一类题的实践与探索中寻求解决问题的一般思路，归纳一般规律，形成一般思想與方法，让教师更好地理解数学教学，更好地引导学生进行学习与思考；让学生更好地理解数学学习，提升运用数学知识解决实际问题的能力.？摇

2. 变式教学有利于突出学生的主体地位，提升思维能力

首先，变式教学较好地体现了新课程的教学理念. 变式教学注重以现代教育理论为指导，从精心设计问题到引导探索发现、展现问题形成过程，注重知识建构、摒弃题海战术、提高应变能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径. 遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新的教学原则，以培养具有创新意识和创新能力的人才为目标. 它强调学生是学习的主体，教师要调动学生的自觉性、主动性实现教师的主导作用与学生的主体作用有机结合，可以充分挖掘学生的潜能，有效地培养学生的自学能力、探究能力和良好的学习习惯. 所以变式教学较好地体现了新课程的教学理念，具有鲜明的时代性，在课堂教学中合理地利用变式教学有利于培养学生研究、探索问题的能力，促进学生思维能力的提升，是增强“三基”教学与提升学生数学核心素养的重要途径.

其次，变式教学能有效地促进学生的发展，使学生成为学习的主人. 变式教学就是以学生的发展为中心，把知识从不同的角度、以不同的形式展示给学生，让学生深入挖掘、思考，注重一题多解、一题多变，培养学生思维的灵活性. 它打破了学生的定向思维，让学生在变式教学中体会知识点的千变万化，以更加灵活的方式去学习、理解数学知识，掌握运用数学知识. 同时在变式教学中师生的关系也在悄悄发生转变，教师在教学实践过程中学会了反思，重新认识学生，更加尊重学生人格，关注学生个体差异，以满足不同学生发展的需要；重新审视自己，努力实现自身角色转换.通过变式教学，教师不仅仅是知识的传授者，更是要做学生学习的组织者、引导者. 在引导与合作中拉近了与学生的关系，建立起积极参与共同发展的、平等的师生关系，让学生学习的主体地位不断地增强，使得让每个学生在课堂中都能够获得成功的体验成为可能.