一道课本例题的推广与应用*

●

(宣城市第二中学,安徽 宣城 242000)

北师大版教材《数学(必修5)》第48页，有这样一道其貌不扬的例题，很多教师在讲这一节课的时候，对这一例题都没有引起足够的重视.但是，这道小小的例题却蕴含着深邃的数学思想方法，在近几年的高考试题中大显身手.

图1

1 教材例题呈现

在△ABC的3个顶点坐标给定的情况下，可以先求出从某一顶点引出的两个向量的坐标，其交叉乘积之差的绝对值的一半，即为△ABC的面积.

2 应用教材例题的结果解高考题

用该结论解决下面的例2可以大大简化解题过程，比所给的参考答案要简单得多.

2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值；

3)略.

(2011年山东省数学高考理科试题第22题)

得

|sin(β-α)|=1,

从而

于是

3cos2α+3sin2α=3,

2sin2α+2cos2α=2.

于是

图2

3 教材例题推广

该结论可推广到四边形.如图2，凸四边形ABCD中，AC与BD的夹角为θ，设A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则

S△ABC=S△AFB+S△CFB=

同理可得

从而S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

如图2，过点C作BD的平行线，截取CE，使CE=BD，联结AE,DE,则

S△ACE.

从而

若直线AC,BD的斜率均存在，不妨设斜率分别为k1,k2，对上式稍作变形得

(1)

式(1)的特点是：只需知道四边形4个点的横坐标以及对角线所在直线的斜率，即可表示出该四边形的面积，这一优点在圆锥曲线压轴题中非常好用，可以大大简化运算过程.

4 应用教材例题的推论解高考题

利用这一结论，可以快速地解决下面的例3.

图3

例3设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交⊙A于点C,D，过点B作AC的平行线交AD于点E.

1)证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

2)如图3，设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于点M,N，过点B且与l垂直的直线与⊙A交于点P,Q，求四边形MPNQ面积的取值范围.

(2016年全国数学高考理科卷Ⅰ第20题)

解1)略.

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

从而

(1+k2)x2+2(k2-1)x+1-15k2=0，

因此

得

易知，当l⊥x轴时，S四边形MPNQ=12.

利用式(1)还可以处理例3的变式，得到了意想不到的效果.

图4

分析改变第二条直线的生成方式，此处由弦AB的中点M这一动点和原点构造出第二条直线，综合了中点弦的处理技巧.

即

故

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

从而

因此

故

教材是我们学习的出发点和落脚点，应做到“入乎其内，出乎其外”，把教材由薄读到厚，再由厚读到薄.教材的每一段话、每一道例题、每一组习题，包括课后阅读材料、研究性学习，都要引起高度重视，只有这样，才能在考场上应对自如.