研题，数学教师专业发展的有效途径*

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(湖州中学,浙江 湖州 313000)

教学质量是学校教育的生命线.好的教学质量需要优质的生源，同时离不开优秀的教师，教师专业的发展不仅关系到教师个人的成长，也关系到学校未来的发展.现阶段，全国各地的相关部门或机构针对教师的培养采取了各种各样的有效措施.就高中数学教师而言，笔者认为“研题”是专业发展的一件行之有效的法宝.

1 研题的定义

研题，就字面而言，即“研究题目”，它是在正确解题的基础上，对题目进行反思，挖掘出题目的内涵与潜在的价值，因此研题包含“解题”和“反思”两个环节.

解题，目录学中常用的一个术语，中文释义：求解问题[1].本文中的“解题”特指“做题”，即对所提问题作出解答.解题在数学学习过程中的重要性不言而喻，中国著名数学家华罗庚先生曾说过：“学数学不做题目，等于入宝山而空返.”学习数学离不开“解题”.

反思，意为自我反省，即思考过去的事情，从中总结经验或教训，字数可以不多，但一定要深刻.中国古代教育家孔子说：“学而不思则罔.”在“解题”后，若缺少了“反思”，就接触不到题目的真谛.

2 内容与方法

研题的内容没有固定的范围，它可以是单一的数学题目，如：某个高考真题，或某次联考的一个考题，或是日常课堂教学中的一个例题等；它也可以是一类数学问题串，如：与某个知识点相关的题型归类，或几个相似问题的统一解法总结，或不同条件下问题的不同处理方法等.

当然，研题的方法也没有既定格式，可以是研究一个点，以题目结构为角度，研究题目的已知条件、文字组织、设问方式等；也可以是研究一个面，从题目的题意、解法、背景、变化、价值等方面进行全面深入的研究.

笔者以一个试题的研究为例，对研题的内容与方法进行如下说明：

1)an

(2017年9月浙江省丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测试题第22题)

2.1 解题环节

解题是数学学习的一种重要方式，解题环节可分成两个部分：研究题意和研究解法.流畅的解题环节需要研题者准确理解题意，并以合理的方法得到正确的答案，而解题能力更是评价一名数学教师业务能力的一个重要指标.

2.1.1 研究题意

题意的理解一定要精准地抓住问题本质，阅读题目时必须找出解题的关键要素.

3)本题考查内容涉及数列的函数本质、数列不等式的放缩、数学归纳法、等比数列求和等知识，难点在于拆项和放缩的技巧，对学生分析问题和解决问题的能力有较高的要求.

准确理解题意是获得正确解答和多样解法的前提，离开了题意的理解，题目的解法就会显得生硬且难以接受.

2.1.2 研究解法

根据题意，可作如下分析：

思路1直接构造函数f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1).

思路2两边取以自然对数底数e为底的对数，构造函数f(x)=lnx-x+1，其中x∈(0,1).

说明两种思路实质均考虑到了“切线放缩”，即y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1，从而当x∈(0,1)时，ex>x+1；y=lnx在点(1,0)处的切线为y=x-1，从而当x∈(0,1)时，lnx

(1)

思路1这是“n项之和”与“一项”的大小比较，可以将ln(n+1)对应地拆成n项，如：

ln(n+1)= [ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+

…+[ln 2-ln 1]，

思路2式(1)是关于正整数n的不等式，因此可考虑用数学归纳法处理.

说明思路2与思路1考虑问题的角度不同，但要解决的核心问题一样，均离不开不等式ln(x+1)

3)思路1由第1)小题知

(ea1-1)t+(ea2-1)t+…+(ean-1)t=

故

方法的多样性不能停留在简单的变形，而应体现研题者对题意理解的到位和思维的活跃，不同的方法之间应有较为明显的不同思考角度，如：将第1)小题思路1中“构造函数f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1)”改为“构造函数f(x)=ex-ex，其中x∈(0,1)”，像这样的改变，因为其仅仅停留在不等式的简单变形，所以不属于我们所定义的不同方法.

2.2 反思环节

反思是数学学习过程中对已学知识的一种复习方式，也是一种自我提升的有效途径.研题中的反思环节是研题者对题目进行全面认识的过程，它需要教师具有深厚的知识储备和专业修为，这是研题的关键一环，直接决定研题的精彩与黯淡、成功与失败.

2.2.1 反思背景

2)思路3如图1，S小矩形之和>S阴影，即

ln(n+1),

图1 图2

3)思路2如图2，S小矩形之和

说明从思路2可以看出题目条件t≥3是多余的(思路1中此条件却必不可少).

背景的挖掘，便于研题者了解出题人设计思路的起点与命题的初衷，从而找出最优解法.

2.2.2 反思变化

了解了出题人的设计起点与命题初衷后，就可以在原题的基础上对题设条件或设问方式进行适当的变形，进一步挖掘题目的内涵与价值.

变化1精简条件，美化题目.

从第3)小题思路2的解答过程看，不难发现条件t≥3是多余的，因此可以将该条件去掉，重新解答此题，得到：

②当t=2时，

不等式成立.

③当t≥3时，同思路1.

变化2拓展思考，完备结论.

例1第2)小题仅展现了不等式的一边，适当挖掘可得到不等式的另一边.

图3

思路2数学归纳法.

思路3构造定积分，如图3,S小矩形之和

1+lnn,

当且仅当n=1时，等号成立，从而

变化3适当放缩，加强命题.

由条件知an∈(0,1)且n≤t，从而

分析由第3)小题的证明过程可知

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*，

说明1)变式2为例1第3)小题的一个加强命题，证明过程因借助了第3)小题而使其看似简单，实际难度更大.

2.2.3 反思价值

题目价值的反思是研题者对之前研究成果的宏观总结，也是研题者在课堂讲题前的一种微观思考,即为什么要讲解此题.

从题目的结构看，该题题意清晰，题型完整.数列和的不等式问题主要包括“控制”和“有界”两种类型，第2)小题为控制型，第3)小题为有界型.

从解题方法看，该题融入了现阶段较为热门的切线放缩、裂项等处理方法，整个过程涵盖转化与化归、函数、数形结合等多种数学思想，拓展开来有利于培养学生的发散性思维.

从教学角度看，该题作为上课的例题进行教学，有利于学生弄清楚数列和不等式中“控制”和“有界”两个最常见的概念，命题的变形与加强有利于开拓学生的视野，体现了很好地教学功能.

从考查角度看，该题解法众多，蕴含思想丰富，充分体现了对学生逻辑推理、数学分析、数学建模、直观想象等数学核心素养的考查.

一切的反思都是为了在课堂中的精彩呈现，反思至关重要，它是研题者挖掘题目内涵、提炼题目价值的必要环节，也是研题者思考题目本源、找出最优解法、在课堂中讲解好题目的前提条件和核心步骤.

3 研题的意义

研题一定要有收获，没有收获的研题是无用的.在上述研题例子中，我们不仅得到了多解、变形和命题的加强等浅层次的收获，更重要的是教师得到了专业发展这一深层次的成果.

3.1 能编好题

根据上述的研题例子，笔者创编了如下的一道题目：

(2)

即

从而

……

于是

当且仅当n=1时,等号成立，故式(2)成立，进而

2)(见下文“3.2能上好课”部分.)

设计说明对照原题，本题改编之处主要体现在3个方面：

1)将原题中t≥3这一条件舍去，简化了条件;

虽然每一次的改动看似变化都不大，但实际上对整个解题的思想方法产生了深刻的影响，其中涵盖了放缩、二项式定理、数学归纳法等重要的数学研究手段和知识(这也是证明第2)小题的难点)，很好地考查了学生思维的发散性.

3.2 能上好课

借助研题，对题目有了深刻的了解，研题者就能够顺利地将讲题过程自然融入课堂.

以下是笔者经过“研题”后，实践的一堂试卷讲评课的片段：

师：从前面的解答过程可以看出，第3)小题的解答十分依赖于第2)小题的结论.而事实上，因为an∈(0,1)且n≤t，所以

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

(3)

对这个式子的证明，同学们有什么看法？

生2：这是正整数问题，可考虑用数学归纳法.

师：很好，那我们请生2上台来板演一下解题过程.

生2上台板书如下：

当n=1时，左边=11<(1+1)1=右边，式(3)成立；

假设当n=k，其中k∈N*时，式(3)成立，即

1k+2k+3k+…+kk<(k+1)k，

则当n=k+1时，

左边= 1k+1+2k+1+3k+1+…+kk+1+(k+1)k+1≤

k(1k+2k+3k+…+kk)+(k+1)k+1<

k(k+1)k+(k+1)k+1=

(2k+1)(k+1)k,

……

(下面生2写不下去了，问题出在不会比较(2k+1)(k+1)k与(k+2)k+1的大小.)

师：根据数学归纳法的结构，生2遇到的主要困难是证明：当k∈N*时，(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1.有没有同学能帮上忙？

(一下子，全班安静下来，陷入沉思……)

生3：老师，好像可以用二项式定理证明.

师(露出笑容)：那请你上黑板前来书写一下.

生3板书如下：

当k∈N*时，

(k+2)k+1= [(k+1)+1]k+1>

2(k+1)k+1=(2k+2)(k+1)k>

(2k+1)(k+1)k.

(台下顿时响起了掌声，并不时发出赞叹声：妙！)

笔者向生3竖了下大拇指，并将生2的答题过程进行了如下补充：

(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1=右边，

故式(3)成立.

综合1)，2)可得：对n∈N*，式(3)成立，即

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

数列不等式问题常作为数学试卷的压轴题，有一定难度.在上述教学片断中，笔者用放缩的手段(数据分析)引导学生重新建立新的不等关系(数学建模)，在给学生牵线搭桥(逻辑推理)的过程中，让学生来发现证明式(3)的方法，不仅得到了例1第3)小题的思路2，而且加强了原命题，更重要的是在课堂中有效推动了学生的六大数学核心素养的发展.

3.3 获得成长

研题的过程，就内容来看，从解题环节到反思环节，题目的内涵与外延都得到了深入的挖掘与拓展，实现了将题目的解答从一般的解题技能上升到一定的理论高度.就研题者而言，无疑是自身数学教育的理论功底、数学知识的掌握程度、数学方法的理解能力及数学教学的理念的一次展现[2]，研题者在对题目题意、解法、背景、变化、价值等的研究过程中，实现了对题目的了解从感性认识到理性认识的升华，其解题水平、编题水平、讲题水平都取得了一定程度的提高，有效促进了自身专业素养的发展，使自己更好地服务于课堂教学.

4 结束语

“解题”作为数学学习的一种方式，它就题论题、浮于表面，动作相对机械，不能代替“研题”去揭示题目的本真.而“研题”是一种有感而发、深度探究的行为，不能一蹴而就，需要深思熟虑，需要潜心研究.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》首次提出了数学区别于其他学科的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[3].一线教师在日常的教学工作中，务必在课前对例题进行适当的研究，挖掘出题目的内涵与外延，从而在课堂中实现例题教学价值的最大化，最终有效提高学生数学核心素养的水平！