Geogebra软件辅助数学概念有效学习的研究

【摘 要】Geogebra软件作为一款集代数、几何、概率统计、微积分等内容于一体，源代码开放可跨多平台使用的免费数学软件，近几年颇受欢迎，普及率逐年递增。如此优秀的一款软件如何在数学概念学习的各个环节中实施有效的辅助，从而促进数学概念的有效学习，本文结合具体实例进行探讨。

【关键词】 Geogebra软件；数学概念；有效学习

一、Geogebra软件的特点与优势

Geogebra软件自2001年由设计者开发至今，经过了十多年的发展已在世界上获得了无数各类奖项，从问世开始一直坚持开源免费的发展思想，正是这种互联网共享的开发模式不但吸引数学软件界的精英加入研发团队，也使世界各地的学习者对其发展都积极贡献自己的绵薄之力。对众多语言的支持和多平台的融合与兼容，也为软件的更快推广提供了技术保障。相对于几何画板、超级画板等数学软件，Geogebra不但界面友好易于初学者入手，同时能够完成的数学功能也非常丰富，而且版本更新与完善的升级速度特别快，也适于高手的创造性学习。目前Geogebra不但有pc版、在线版还最新开发了平板版与手机版，更利于在信息化的课堂教学与学习中发挥技术优势，更加多元的进行有效辅助。

二、数学概念有效学习的涵义

在概念的学习过程中，深刻体会概念产生的背景，获得对概念的本质的认识，领悟概念内涵的意义与概念外延的拓展，形成明确的概念表象并通过概念的应用更进一步的理解并深化认识，与已有概念建立恰当而准确的联系环环相扣、层层深入，从而形成条理清晰逻辑明确的概念结构，继而达到对数学概念的有效学习。

三、Geogebra软件如何在数学概念有效学习的各个环节中辅助

1.丰富概念的引入

引入是概念学习的重要环节，合情合理的动态情景可以帮助学习者体会概念生成的过程及相关背景，理解概念生成的必要性从而心悦诚服地接受并认同。在圆锥曲线的引入中，如何让学习者理解几种圆锥曲线是由一个平面截圆锥得到的，并非易事仅仅依靠一成不变的静态呈现也许不能很好的为学习者答疑解惑。利用Geogebra的3D绘图功能便能恰当的解决这种动态呈现的迫切需要，可以快速的绘制圆锥并通过命令栏输入命令语句建立平面和平面的运动轨迹，再通过滑动条的拖动使平面与圆锥的相交曲线实时变化，让学习者充分的领悟截面形成圆、椭圆、双曲线、抛物线所满足的不同条件，使概念的学习生机盎然。

2.体验概念的形成

概念的形成是学习者通过自身的直观感觉或者某方面的知觉，感受概念表象的基础上多重整合，从而进一步的分析、整理、筛选、提炼出概念的本质为抽象概括奠定一定的认知基础。利用祖暅原理的重要方法对球的体积公式的推理过程教材中是以阅读材料的方式给出的，虽未要求掌握但不少学习者还是很有兴趣深入理解并探索的，运用传统教学方式的严谨演绎推导未尝不可，满足科学性却相对耗时耗力，显然想寻求更合理的处理方式。利用Geogebra的度量功能就可以比较快速的完成验证，同时Geogebra强大的3D作图功能也使图形唾手可得毫不费时费力，为此类探究性问题提供了一种务实、高效的解决途径。

3.启发概念的概括

概念的概括是通过对表象的分析理解从一类具有诸多相同属性的对象中抽象概括出其本质属性，并能借助升华后的思维模式与方法将其适时的运用到属性相同的对象中去。函数导数的概念在高中阶段是由其几何意义出发引出的，由于其抽象程度较高有别于高中阶段大多的概念定义形式而难于概括，其出发的是割线斜率为函数值的平均变化率，切线斜率即函数的瞬时变化率即为函数的导数，利用Geogebra软件的恰当设计可以将这一过程，连续而动态的表现出来，数与形的同步变化也会促进学习者对概念形式的直观猜想与归纳，从而衍生出更貼切的形式化概括。平面向量基本定理是向量体系的基础，对向量的后继学习意义非凡但究其形式也相对不易提炼，其中涉及的数量与向量的计量与运算也较繁杂，借助Geogebra强大的计算功能将其中的状态对应形式准确量化，亲身体验变化中的不变与规律，在Geogebra辅助下完成对定理文字叙述的准确提炼，并自主发现其特殊情况与约束条件达到深入的理解概括。

4.深化概念的理解

概念的理解是结合一些适合的具体实例与变式，使学习者对概念所蕴含的多层次意义与所能展开的多角度延伸，联系相应的表示形式与直观图像形成具体的、动态的、逻辑条理清晰的概念意象。在现行的高中阶段教材中，对定积分的要求是结合具体的连续函数，由求解相关曲边梯形的面积和的极限为出发点，期望学习者理解定积分的概念。这类复杂度高略显抽象且叙述起来较为冗长，出错率高计算量大的概念学习容易流于形式不易深入。借助Geogebra学习者可以自己动手将曲边梯形任意分割成n个部分，求在一个区间范围内的积分上和与相应的积分下和比较，体会从两个方向无限接近于定积分的一个动态变化及无限趋近的极限思想。整个过程中避免运算错误及繁杂化简带来的厌倦感，为概念本质与核心的深入理解扫清了障碍，Geogebra软件的技术支持使定积分的概念更加易于被学习者深入的理解，也为学习者大学阶段对微积分的进一步探索提供了可借鉴的平台，这种支持是可以延续且终身受益的宝贵财富。

5.探索概念的应用

将概念运用到千变万化的问题情境中，并在具体环境中提炼甄别反馈，在灵活变通的各类问题中追根溯源形成对概念的再认识，提升概念的理解水平寻找与已有知识与经验千丝万缕的联系，巩固理解同时创造性的运用概念探索解决问题的新途径。如探究圆周率的近似值，古往今来在数学发展的任何阶段都是数学家呕心沥血孜孜以求的一个重要问题，也是弘扬数学文化价值的一个优秀案例，是概率的定义与定积分概念灵活运用的典例。因其难于省时而准确的模拟问题情境，在高中阶段的教学中实现适时渗透绝非易事，借助技术优势便可解决这一矛盾。利用Geogebra可以轻松实现大量重复试验的随机模拟与定积分的逼近求和，如可借助几何概率模型模拟在正方形与其内切圆中撒豆子的实验，体验概率意义下的简单估计方法。又如可用Geogebra体会祖冲之割圆术中的夹逼思想，结合曲边梯形的积分上下和构造这一趋势形成对割圆术所蕴含的丰富思想的深刻领悟与启示，让学习者充分体验与探究，使他们在对概念的科学探索中不断进步。

6.建构概念的结构

要达到对概念结构的有效建构，需要将新概念与已有知识建立起广泛而深入的联系，既要理清他们的关系也要明确他们之间的区别，从不同的角度进行深入分析，从不同的方向进行广泛的整合，使概念在头脑中的表征更加明了，从而有机而高效的整合形成新的概念结构和更完备的知识体系。高中阶段对圆锥曲线的学习是对椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线分别深入探讨后寻求他们的统一定义与共同性质的建构。圆锥曲线统一定义的具体实施与学习的过程却并不轻松，甚至有些学习者理解起来也是困难重重，借助Geogebra操作恰当的分类与整合、自主探索、小组合作、资源共享设计适合学习者的操作流程，可以辅助学习者寻找相互关系，全方位多视角的建构知识之间的联系，完善知识体系。

四、研究的展望

本文主要探讨Geogebra软件在数学概念学习的各个环节中如何有效的辅助，Geogebra软件在解题的学习等其他形式的教与学过程中如何更好地发挥技术优势，还有待进一步研究，同时Geogebra软件的平板版和手机版的广泛应用，也必将改变技术参与学习的传统形式，相信在不久的将来，技术的辅助以传统的学习形式会更加相得益彰。

【参考文献】

[1]李丹.Geogebra软件辅助数学概念理解性学习的研究[D].福州：福建师范大学，2014