例谈数与形的相互作用及相互关系

符晓全

【摘 要】笔者根据自己多年的数学课堂教学经验，把常常会用到数形结合的几种题型进行归纳，以此抛砖引玉例谈数与形的相互作用及相互关系。

【关键词】数形结合；数与形；以形助数；以数辅形

一、以形助数问题

1.与不等式有关的问题

例1：若不等式|x-4|+|3-x|

这道题目是已知不等式的解集求未知的参数，是考查不等式解法的逆向运用，解这道题的一般思路是：先对a分类讨论：（1）a≤0时不等式的解集为空集，符合题意；（2）a>0时，先求不等式有解时a的取值范围：a>1，从而得当0

|x-4|+|x-3|表示数轴上的点x到3和到4的距离之和（图一），其最小值为1。即|x-4|+|x-3|≥1，若|x-4|+

|3-x|

后一种方法明显比前一种方法简单，清楚，运算量小，出错机会少。

例2：已知a，b，m∈（0，+∞），且a■。

分析：本题包含了多种的几何特征。

思路1：不等号两边是比值形式，可考虑直角坐标系下直线的斜率，再结合倾斜角，斜率的大小去证之。

思路2：根据三角形相似可得到比值关系，因此可以利用相似关系把欲证的式子两端转化为相似三角形对应边的比，再结合线段长度去证之。

证法一：如图二，设点A（b，a），点B（-m，-m）其中m>0，其中直线OA的倾斜角为α■，直线AB的倾斜角为α■

∵0

∴直线OA的斜率K■=tana■=■<1

直线AB的斜率K■=tana■=■<1

∵B在第三象限平分线上

∴AB必与x轴正半轴相交，且有0

∴tana■>tana■，即■>■

证法二：如图三，在Rt△ABC及Rt△ADF

中，AB=a，AC=b，BD=m

作CE∥BD交DF于E，由△ABC∽△ADF

∴■=■<■=■=■

例3：解不等式x+1-x-3>2

分析：此题若用分段讨论或用两边平方的方法来解，则过程复杂且容易出错。若把x视为复数，在复平面内利用几何意义来研究，则过程简化，方法较新颖。

解：在复平面内，满足条件z+1-z-3=2的复数z对应的点的轨迹是以（-1，0），（3，0）为焦点，以（1，0）点为中心且实轴长为2的双曲线的右半支（如图四），图象与x轴的交点为（2，0）。可见x是实数时，不等式x+1-x-3>2的解集是{x|x>2}。

2.与函数有关的问题

例4：方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内解的个数是？

分析：这是一个涉及三角方程的问题。因为只要求找出解的个数而不需要求出具体的解，所以我们不必直接解方程。考虑到方程的左右两边分别是sin2x和sinx，如果把它们分别看成是函数y=sin2x和函数y=sinx（如图五），那么方程的解就是两函数曲线的交点的横坐标，解的个数就是交点的个数，为3。

例5：求函数y=■的值域。

分析：一般的解题思路是：函数本身就是一个二元方程，求函数值域，实质就是要使方程y=■有解，求y的取值范围。因此可以转化为方程问题解决。主要的步骤有：（1）把函数化为三角函数sin（x+ ）=■（ 为辅助角）（应用两角和的三角函数公式）；（2）利用正弦函数的有界性得出关于y的不等式■≤1；（3） 解该不等式得原函数的值域是[-■，■]。如果借助图象解决，主要的步骤是：y=■=■，其几何意义（cosx，sinx），（-2，0）两点的斜率（如圖六），于是求函数的值域问题就转化为求该斜率的最大值和最小值问题，即求单位圆上任意一点与点（-2，0）连线的斜率的取值范围，易得函数y=■的值域是[-■，■]。

3.与最值有关的问题

例6：已知x■+y■+5x≤0，求3x+4y的最大值与最小值。

解：x■+y■+5x=0可转化为（x+■）■+y■=（■）■

这是圆心在（-■，0），半径为■的圆，满足x■+y■+5x≤0的点（x，y）在此圆内或圆周上。

设3x+4y=m，即y=-■x+■，这是斜率为-■的平行直线系。于是可归结为这组直线在上述区域上平行移动时何时纵截距为最大，何时纵截距为最小。由图七知，当直线与圆相切时，m有最大值或最小值。故问题可归纳为方程组

3x+4y=m……（1）

x■+y■+5x=0……（2）

有唯一解，求m的值。

把y=-■x+■代入（2）得：25x■+（80-6m）■+m■=0……（3）

方程（3）有等根的充要条件是△=（80-6m）■-4×25m■=0。即m■+15m-100=0，解之得m■=-20，m■=5。所以3x+4y的最大值为5，最小值为-20。

例7：①在-1≤x<0内，求满足不等式x■-2≤kx的k的最大值；

②在-1≤x<0内，求满足不等式x■+1≥kx的k的最大值。

解：①令 y=x■-2…（1）

y=kx… （2）

（1）是以（0，-2）为顶点，y为对称轴，开口向上的抛物线；（2）是过原点的直线，从图象（图八）上易见：满足-1≤x<0且x■-2≤kx的k的最大值：过点（-1，-1）的直线y=kx的斜率k=1（当k>1时，不等式x■-2≤kx不成立）。

②令 y=x■+1…（1）

y=kx… （2）

义是：（1）是以（0，1）为顶点，y轴对称轴，开口向上的抛物线；（2）是过原点的直线。从图形上易见：满足-1≤x<0且x■+1≥kx的斜率是k≥-2，故k的最大值为-2。

4.与解方程（组）有关的问题

例8：复数z满足 z+3+z-3=10

z-5i-z+5i=8

分析：联想“形”：z+3+z-3=10表示中心在原点，焦点为A（-3，0），B（3，0），长轴长为10的椭圆；z-5i-z+5i=8表示中心在原点，焦点为C（0，5），D（0，-5）实轴长为8的双曲线的下支（如图十）。

于是，复数z是上述两曲线（椭圆和双曲线下支）的交点Z对应的复数。作图可知交点为Z（0，-4），故复数z=-4i。

例9：实数m为何值时，方程sin■x-sinx+m=0，（-■≤x≤■）有两解，一解，无解？

分析：把原方程轉化成函数式：m=-sin■x+sinx，（-■≤x≤■），再令t=sinx，则，m=-t■+t，（-1≤t≤1）。由此方程联想到“抛物线弧段y=-t■+t，（-1≤t≤1）与直线y=m的交点的个数”即得（如图十一）：

当0≤m<■时，方程有两个不同的实数解；

当-2≤m<0或m=■时，方程有唯一的实数解；

当m<-2或m>■时，方程无解。

二、以数辅形问题

与立体几何有关的问题

例10：已知ABCD-A■B■C■D■的棱长为a，求异面直线A■C■与AB■的距离。

分析：这是一道典型的求异面直线的距离的问题，解决的方法有很多，如把问题转化为平行平面间的距离；或转化为直线与平面的距离；或用等体积法；或建立函数关系求最值；或用异面直线两点间的距离公式；或通过建立空间直角坐标系，利用向量这个工具把空间的数量关系转化为代数运算等等。

解：（公式法）如图十二，设EF为A■C■与AB■的公垂线，且EF=d，又设A■E=m，C■E=n，则m+n=■a，由正方体的对称性有：B■F=m，AF=n，因为A■C■在公垂线EF两侧，根据异面直线上两点间的距离公式有：A■C■=d■+n■+n■+2n■cos60■

A■B■■=d■+m■+m■+2m■cos60■

∴3a■=d■+3n■…（1）

a■=d■+3m■…（2）

（1）-（2）得：2a■=3（n■-m■）…（3）

将n=■a-m代入（3）中得：m=■a，再将m=■a代入（2）得：d=■a。

【参考文献】

[1]蔡惠萍.几何图形在代数解题中的应用，数学通报，2004，3：20-21

[2]李凤芝.用“形”的直观启迪“数”的计算，数学教学，2004，3：15-17

[3]薛金星.高考总复习全解，用数形结合的思想方法解题，陕西人民教育出版社，430-433