下有界线性算子与其伴随算子的关系

李琳

【摘 要】研究了Banach空间线性算子的伴随算子与Hilbert空间的伴随算子的关系，利用Riesz表示定理给出了无界线性算子是下有界的充要条件。

【关键词】下有界；伴随算子

在数学物理中，很多实际问题都转化成无穷维Hamilton系统，如流体力学、弹性力学、电磁学以及量子力学等数学物理问题。进而应用变分法使无穷维Hamilton系统导出无穷维Hamilton算子。对于无穷维Hamilton算子的研究，国内外很多学者做了大量工作，其中有一种方法是通过其伴随算子来求解无穷维Hamilton系统方程，无穷维Hamilton算子一般情况下是非自伴算子，非自伴算子谱理论的研究还处于初级阶段，没有形成完善的理论结构。而且，无穷维Hamilton算子的谱比自伴算子、u-标算子、积分算子等几类非自伴算子的谱要复杂的多，因为无穷维Hamilton算子可能存在连续谱、剩余谱。因此，無穷维Hamilton算子谱理论研究已经成为泛函分析、弹性力学、电磁学及应用力学中比较活跃的分支学科，引起越来越多的学者的关注。

实际应用中，下方有界算子出现在很多实际问题中，如流体力学、弹性力学、电磁学以及量子力学等数学物理问题。我们知道这些问题可以导出无穷维Hamilton系统，与此对应的算子矩阵就是Hamilton算子矩阵，而这些算子中有很多是下方有界算子。我们知道，线性算子的预解集主要考虑本身的下有界性，通过下有界得到线性算子的谱的相关结论。因此，下有界性是线性算子非常重要的性质.在本文，我们给出Banach空间及Hilbert空间无界线性算子的伴随算子的概念，应用Riesz表示定理证明了下有界线性算子和伴随算子之间的关系。

定义1.X，Y是Banach空间，T：D（T） X→Y是稠定线性算子，令T'y'=■，其中D（T'）={y'∈Y'：T是D（T）上的有界线性泛函}，称T'是T在Banach空间的伴随算子。

定义2.X是Hilbert空间，T：D（T） X→Y是X中稠定线性算子，令T*y=z，其中D（T*）={y∈X：存在z∈X，使得任意x∈D（T），（Tx，y）=（x，z）}，

称T*是T在Hilbert空间的伴随算子。

定义3.X是Hilbert空间，T：D（T） X→Y是X中稠定线性算子，存在m>0，使得‖Tx‖≥m‖x‖，∨x∈D（T），则称T是下有界算子。

引理1.X是Banach空间（或Hilbert空间），T是X中的稠定线性算子，若T不是下方有界，则存在{x■} D（T），使得‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

证明：由于T不是下方有界，因此存在{u■} D（T），且‖x■‖=1，使得‖Tu■‖→0。 ■，Tu■≠0，

nu■，tu=0■

则‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。

引理2.（Riesz表示定理）设H是Hilbert空间，f是H上定义的有界线性泛函，则存在唯一的y■∈H，使得f（x）=（x，y■），∨■∈H，

并且‖f‖=‖y■‖。设σ（f）=y■，则σ（f）是定义在全空间H*上的双射，且共轭线性同构，即σ（αf+■g）=■■（f）+■σ（g），其中α，β∈C。

证明：证明略，见Weidmann《Hilbert空间的线性算子》P61 Th4.8。

定理3.X，Y是Banach空间，T：D（T） X→Y是稠定线性算子，y'∈Y'，若y'·T在D（T）上有界，则y'·T在X上存在唯一的有界泛函■。

证明：∨x∈X，由于T稠定，因此 {x■} D（T），使得x■→X。因为y'·T在D（T）上有界，所以‖y'·T（x■）-y'·T（x■）‖≤‖y'·T‖·‖x■-x■‖，因此{y'·T（x■）}是Cauchy列，记y'·T（x■）→a。

令F（x）=a，则F是X上的线性泛函，

F（x）=limy'·T（x■）≤‖y'·T‖·‖x‖，

因此F有界，且‖F‖≤‖y'·T‖。

∨x∈D（T），有‖y'·T（x）‖=F（x）≤‖F‖·‖x‖，‖y'·T‖≤‖F‖，所以‖y'·T‖=‖F‖。

下面证明F是唯一的：

设S是D（S） X上的有界线性泛函，且S（x）=y'·T（x），则∨x∈X， {x■} D（T），

使x■→x，且S（x）=limS（x■）=limy'·T（x■）=F（x）。

因此S=F，即F是唯一的，结论证毕。

定理4.X是Hilbert空间，T是X中的稠定线性算子，T*是T的伴随算子，则R（T*）=XR（T*）当且仅当T下方有界。

证明：必要性：假设T不是下方有界，由引理1知，

{x■} D（T），使得∨y∈D（T*），有‖x■‖→∞，T（x■）→0，

则（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。

因为R（T*）=X，所以∨f∈X*， y∈D（T*），使得

f（x■）=（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。

由一致有界原理知{‖x■‖}有界，这与x■→∞矛盾，所以T下方有界。

充分性：∨z∈X，则有引理2知存在唯一f∈X*，使得f（x）=（x，z）。

当x∈D（T）时，记Tx=u，则

x=T■U，f（X）=F（T■（u））。

由于T■，f有界，所以f（T■）是R（T）上的有界线性泛函，

因此由Hahn-Banach定理知f（T■）可延拓到X上■，且‖■‖=‖f（T■）‖。

由引理3知 y∈X，g∈X*，使

■（u）=g（u）=（u，y），

从而当u∈R（T）时，

（x，z）=f（x）=f（T■u）=■（u）=g（u）=（u，y）=（Tx，y），

（下转第36页）（上接第10页）

因此y∈D（T*），T*y=z，所以z∈R（T*），即∈R（T*）=X，结论证毕。

【参考文献】

[1]张鸿庆.阿拉坦仓：一类偏微分方程的无穷维Hamilton正则表示.力学学报，1999，31（3）：347–357

[2]黄俊杰.阿拉坦仓：无穷维Hamilton算子的普及相关问题研究.数学进展，2008，38（2）：129–146

[3]吴国林.阿拉坦仓：一类无穷维Hamilton算子的普.内蒙古大学学报：自然科学版，2007，389（3）：1247–251

[4]吴德玉.阿拉坦仓：无穷维Hamilton算子特征函数系的Cauchy主值意义下的完备性.中国科学A辑：数学，2008，38（8）：904-912

（课题：2017年河套学院科学研究项目自然科学一般类：无穷维Hamilton算子的辛自伴（编号：HYZY201702））