关于江苏高考数学模拟中一道“一题多解”题目的思考

张煜琳

【摘要】“一题多解”题目从不同角度、不同层次来考虑问题，在解题过程中不仅可以重新复习、深刻理解知识点，还能让学生体会多种数学思想方法，提高解题效率.本文以江苏高考数学模拟题中的一道“一题多解”题目为例，浅谈自己的思考.

【关键词】“一题多解”；数学思想方法；高考题

題目已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为.

这道题是代数与几何的结合，不仅考查了学生对代数与几何知识的掌握，还可以通过分析学生解决这道题的不同方法，了解学生更擅长哪种思维方法，是一道难得的好题.

分析这道题目虽然简短，但是信息量很大，首先我们可以罗列一下题目给出的条件：

（1）BC=2.

（2）G为△ABC的重心，由这个条件，又可以推出三条隐含的条件：

① 连接GC，延长AG交BC于点D，则GA，GB，GC把△ABC分成了三个面积相等的三角形，即S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC；

② GA+GB+GC=0；

③ |GA|∶|GD|=2∶1.

（3）AG⊥BG，这个条件我们可以转化为AG·BG=0.

分析条件的过程，体现了隐含条件思想，把题目中没有明确表达出来的隐含内容翻译出来，这也是学生应掌握的思想方法之一.

思路一建立平面直角坐标系，将△ABC放到平面直角坐标系中，借助直角坐标系来解答.几何图形与平面直角坐标系结合，是一种数形结合的数学思想方法，利用数形结合，可将问题化繁为简，化难为易，是解决几何问题常见方法之一.

法1以BC所在直线为横轴，BC中垂线为纵轴建系，则B（-1，0），C（1，0），设A（x，y）位于x轴上方.

∵点G为△ABC的重心，由三角形重心坐标公式可知，Gx3，y3.

又∵A（x，y），B（-1，0），

∴GA=2x3，2y3，GB=-1-x3，-y3.

∵AG⊥BG，∴GA·GB=0，

即2x3·-1-x3+2y3·-y3=0.

整理后可以得到x+322+y2=94.

∵x+322≥0，∴y2≤94.

又∵y≥0，∴y≤32，∴ymax=32，

∴S△ABCmax=12×2×32=32.

小结：由于BC长度已知，所以以BC所在直线为x轴，以BC中垂线为y轴建系，这样，B，C两点就相当于定点，并可知其坐标分别为B（-1，0），C（1，0）.为方便计算，假设点A位于x轴上方.求△ABC的面积的最大值，也就是求BC边上高的最大值，即A的纵坐标的最大值，体现了化归思想.解题过程中，把x+322看作一个整体，由x+322≥0，推出y2≤94，体现了整体思想.

法2以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建系，设A的坐标为A（-r，0），则B（r，0），假设C（x，y），为了便于计算，设C位于x轴上方.

由点G为△ABC的重心可知Gx3，y3，

∴AG=r+x3，y3，

BG=x3-r，y3.

∵AG⊥BG，∴AG·BG=0.

整理得x2+y2=9r2.①

又∵BC=2，

∴由勾股定理可得（x-2）2+y2=4.②

由①②联立，将y2消去，得x2-（x-r）2=9r2-4，

整理后x=5r-2r代入①，y=-16r2-4r2+20，

∴S△ABC=12×2r×|y|=r-16r2-4r2+20=-16r4+20r2-4.

令t=r2，则

S△ABC=-16t-582+94，其中t∈14，1，

∴当t取58∈14，1时，S△ABC=-16t-582+94取得最大值，最大值为32.

小结：换个角度，以AB所在直线为x轴，由于A，B两点之间的距离不定，所以用未知量2r来表示，C（x，y）中有两个未知量，这样一共有三个未知量.由AG⊥BG推出式子① x2+y2=9r2，由BC=2以及勾股定理可得式子② （x-2）2+y2=4，两个式子三个未知量，利用方程思想化简消元后，代入S△ABC可得一个关于t=r2函数，利用整体思想、函数思想，求出一元二次函数f（t）=-16t-582+94的最大值，即可得△ABC面积的最大值.

思路二不借助平面直角坐标系，而是直接根据三角形中边长与垂直的条件，利用勾股定理、基本不等式来求解，这也是一种数形结合的思想.

法3延长AG交BC于点D，设DG=m，BG=n.

∵点G为△ABC的重心，

∴AG=2DG=2m.

又∵AG⊥BG，

∴△BDG为直角三角形.

∵BD=12BC=1，

∴由勾股定理得m2+n2=1.

∵D为BC中点，

∴S△ABC=2S△ABD=AD·BG=3mn.

∵1=m2+n2≥2mn，∴mn≤12，

∴S△ABC≤12×3=32，∴S△ABCmax=32.

小结：设DG=m，BG=n，由AG⊥BG知△BDG为直角三角形，利用勾股定理，得出m2+n2=1，由m2+n2可联想到基本不等式，把条件化归到基本不等式上去，利用基本不等式得到mn≤12，把mn看作一个整体，代入S△ABC=2S△ABD=AD·BG=3mn即可得△ABC面积的最大值，体现了整体思想和化归思想.

法4延长AG交BC于点D，设DG=m.

∵点G为△ABC的重心，

∴S△ABC=3S△BCG.

又∵点D为BC中点，且AG⊥BG，

∴S△ABC=3S△BCG=6SRt△BDG，

且BD=12BC=1，

∴在Rt△BDG中，BG=BD2-DG2=1-m2，

∴S△ABC=3S△BCG=6SRt△BDG=6×12×m1-m2=3m2-m4.

令t=m2，则S△ABC=3t-t2=314-t-122，其中，t∈[0，1]，

∴当t取12∈[0，1]时，S△ABC=314-t-122取得最大值，最大值为32.

小结：由重心G的性质可知，S△ABC=3S△BCG，又由点D为BC中点可知，S△BCG=2SRt△BDG，将求△ABC面积最大问题转化为了求Rt△BDG面积最大问题，最后利用函数最值，得到了面积最大，体现了化归思想和函数思想.

思路三轨迹思想.

法5∵点G为△ABC的重心，

∴S△ABC=3S△BCG.

又∵点D为BC中点，且AG⊥BG，

∵S△ABC=3S△BCG=6SRt△BDG，

∴求△ABC的面积最大问题相当于求Rt△BDG面积最大问题.

以BD为直径作圆E，因为AG⊥BG，所以G在圆E上，由基本不等式很容易证得，当BG=DG时，Rt△BDG面积最大，此时SRt△BDG=12×22×22=14，

∴S△ABCmax=14×6=32.