辅助平面在图解空间几何问题中的应用

林冬梅

【摘要】本文通过对画法几何相交问题中求交时用到的辅助平面进行综合分析，总结出选择辅助平面考虑的因素以及辅助平面特点。

【关键词】画法几何 辅助平面 交点 交线

一、前言

在平面上图解空间几何问题是画法几何学科的基本任务之一。辅助平面法是画法几何解题中常用的一种辅助手段。本文通过分析图解空间几何问题时用到的辅助平面，得出选择辅助平面时要考虑的因素以及所选辅助平面的特点。

各种位置平面的投影特性

由于正投影法能比较简便的表达空间物体的形状，画法几何采用的基本投影理论是正投影法。在此投影体系中，根据平面在投影面体系中的相对位置有如下三种情况：投影面垂直面；投影面平行面；一般位置平面。这些位置下平面投影特性见下表1：

二、辅助平面的应用分析

工程技术中遇到的空间几何问题归结起来主要包括度量、定位、轨迹等方面，这些问题的求解都要涉及几何元素之间的平行、相交、垂直等基本作图，在求交的作图中反复用到了辅助平面。

1.求直线与平面的交点

當直线与平面相交，其中有一几何元素处于投影面特殊位置时，可利用具有积聚性的投影作图得到交点的投影；当直线和平面都处于一般位置时，交点就需要通过作辅助平面才能求得，通过空问分析（图得到辅助平面求交点的方法如下：（1）包含已知直线DE作辅助平面P；

（2）求辅助平面P和已知平面ABC的交线MN；（3）交线MN和已知直线DE的交点即为所求。

例1：求图2中平面ABC与直线DE的交点。

直线与平面都处于一般位置，需包含直线作辅助面来求交点，为作图简便，所作辅助平面最好是特殊位置平面，这样可以利用投影积聚性确定面面交线，此处作一正垂面。作图见图20

2.求平面于平面的交线

当两平面相交，其中有一平面处于投影面特殊位置时，可利用具有积聚性的投影求出交线；当两

平面都处于一般位置时，作辅助平面法是求两平面交线最基本的方法，求法如下（见图3）：（1）作一平面S1，使之与P相交得交线L1，与Q相交得交线L2；（2）L1和L2的交点A为P、Q、S1三面的共有点，也是P、Q交线上的一点；（3）再作平面S2，重复步骤1、2，又可得共有点B。AB即为平面P、Q的交线。

例2：求图4中平面ABC和平面DEF的交线。

两平面均为一般位置平面，采用辅助平面求交线，为作图方便，以投影面平行面、垂直面为好，此处以水平面作为辅助平面。作水平面S1，S2即可求得K1、K2（k2，k2），K1K2即为所求。

3.求直线与立体表面的交点

直线和立体表面相交时交点称为贯穿点，它是直线和立体表面的共有点，一般要借助辅助平面才能求得。

当求直线与平面立体表面贯穿点时，实际上就是求直线和平面交点；当求直线与回转体表面

贯穿点时，两元素中有一元素的投影具有积聚性，则可利用具有积聚性投影作图求得，否则需要作辅助平面才能求得贯穿点，方法如下：（1）包含直线作一适当的平面为辅助平面；（2）求辅助平面与曲面立体的截交线；（3）求直线与截交线的交点，即为贯穿点。

三、结论

从上面各例来看，辅助平面不都是处于投影面的特殊位置，也可以是一般位置，如求贯穿点一例。辅助平面归纳起来就是利用共点原理，线面相交是两面一线共点，面面相交是三面共点。就其几何原理上讲，辅助平面的位置是没有限制的，可以是投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面中的任意一种，但是在具体选择辅助平面时，要从作图简便考虑，使得辅助平面产生的线的投影简单易画，如直线、圆等，同时辅助平面尽量与投影面平行以便反映实形。

参考文献：

[1]画法几何与工程制图 中国纺织大学

[2]画法几何与工程制图 高等教育出版社 华中工学院等九院校编