高等代数教学中行列式几何意义的思考

陈秀梅

【摘要】本文主要通过一些教学实践探讨了怎样利用行列式的几何解释来帮助学生更好地理解行列式.

【关键词】高等代数；行列式；几何意义

高等代数是数学及理工科各专业的一门重要的基础课.在高等代数课程中，行列式是一个重要的工具.n阶行列式的定义为

其中，τ（j1j2…jn）为排列j1j2…jn的逆序数.一般的教材中都是直接给出n阶行列式的这个定义，并没有说明为什么这样定义.但是行列式的这个定义从形式上是非常烦琐的，因而学生也会很疑惑：为什么用这么麻烦的式子定义行列式？怎样想到这样定义的？行列式到底是什么东西？笔者在高等代数的教学中发现这个问题在很多学生中都是普遍存在的.结合教学实践和一些思考，笔者认为要解决这个问题，可以从行列式的几何意义入手来回答学生的上述一些问题，同时可以使得学生对行列式及其性质以及矩阵的一些性质能夠理解得更加准确和深入.

行列式的几何意义可以有两个解释，一是从静态的角度，一个是从动态角度.

一、静态角度

从静态角度看，n阶行列式的几何意义是以各列为棱的n维立体的有向体积.

由于学生刚刚学完解析几何，比较熟悉混合积的知识，知道三阶行列式可以看作三个三维向量的混合积，从而三阶行列式就是以它们的各列为棱的平行六面体即3维立体的有向体积.对于二阶行列式，可以在黑板上较容易推导出二阶行列式为以各列为邻边的平行四边形的有向面积.有了二阶和三阶的几何意义，学生不难接受n阶行列式的几何意义是以各列为棱的n维立体的有向体积的这个看法.

对于一般的n阶情形，道理是完全一样的.这样学生对于一般的n阶行列式的定义的来源就理解得比较清楚，是从它的体积的几何意义中自然而然地得到的，同时学生对于行列式的性质也都可以从体积的角度来更深刻地理解.

二、动态角度

从动态角度看，方阵可以看作一个线性变换，因而，方阵A的行列式|A|可以看作该线性变换下图形面积或体积的伸缩率.

只以二阶方阵A=[α1，α2]为例.设ε1=[1，0]′，ε2=[0，1]′是R2的标准基，明显地，若将A看作线性变换，则该变换将ε1=[1，0]′，ε2=[0，1]′变为Aε1=α1，Aε2=α2，从而A将以ε1，ε2为邻边的正方形变为以α1，α2为邻边的平行四边形，变换后与变换前的面积之比为|A|.同样的，R2上任意一个有面积的区域在变换下得到变换后与变换前的面积之比也为|A|，即|A|可以看作该线性变换下图形面积或体积的伸缩率.

利用这样一种看法，可以非常容易地从几何上理解方阵乘积的行列式结论：设A，B都是n阶方阵，则|AB|=|A||B|.由于AB看作线性变换是变换A与变换B的合成，因而，总的伸缩率自然就是这两次变换伸缩率的乘积.

通过教学实践和学生的反馈表明，学生对于这样解释行列式的几何意义比较容易接受，对于行列式和矩阵及其性质的理解也更加深刻.

【参考文献】

[1]李尚志.线性代数（数学专业用）[M].北京：高等教育出版社，2006：5.

[2]北京大学几何与代数教研室.高等代数：第3版[M].北京：高等教育出版社，2008.