一道数学分析练习题的多种证法

刘璇 王秋芬

【摘要】本文应用数学分析中的积分中值定理、拉格朗日中值定理、介值性定理给出一道数学分析练习题的三种解法，并研究了这三个定理之间的内在联系.

【关键词】数学分析；练习题；多种解法

通过对数学分析课程的学习，我们基本掌握了微积分学的相关定理，在一次小測试中，我们发现了这样一道练习题，如下：

通过上面的证明，我们发现同一习题可由积分第一中值定理、介值性定理以及拉格朗日中值定理证明出来，这三个定理之间是否有一定的内在联系呢？其实通过对数学分析的学习，我们知道积分第一中值定理可以用介值性定理进行证明，从而积分第一中值定理可以解决的问题，均可以转化为由介值性定理来解决，因此，此题既可由积分第一中值定理证明，又可以由介值性定理来证明.又因为此题形式与拉格朗日中值定理结论一致，条件也满足，因而，可转化为用拉格朗日中值定理来证明.

【参考文献】

[1]汪义瑞，石卫国，邵春芳，等.数学分析简明教程[M].成都：西南交通大学出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.