柯西中值定理的逆问题与渐进性初探

杨晶

【摘要】本文主要研究了柯西中值定理逆问题，首先对柯西中值定理与高阶柯西中值定理进行了简要介绍，在其基础上，将其与“中间点”渐进性联系到一起，对高阶柯西中值定理进行了推广，并获取了一些结论，针对逆问题的研究，提出命题，并对命题进行证明，验证逆命题是否成立.对于渐进性问题，采用两个引理，分别设定了两个条件，通过泰勒公式运算得到多个公式，经过推理分析，判断命题是否成立.

【关鍵词】柯西中值定理；逆问题；渐进性

在微积分理论当中，占据比重比较大的内容是微分中值定理，并广泛应用到各个领域.近几年，很多学者将目光转移向了“中间点”渐进性研究方向，除此之外，还包括一些逆问题的研究.为了对这些问题进行深入研究，对本文在已有研究的基础上，将两者结合起来，对柯西中值定理逆问题进行分析，提出逆命题，并对该命题做出了证明.另外，本文还对该定理的渐进性进行了初探.

以上为柯西中值定理的逆命题探究内容，基于柯西中值定理，提出两种命题方式，其中一种命题方式为：首先，假设函数在某闭区间上连续，在此开区间上可导，判断是否存在两个数值，使得命题成立.经过推理验证分析，该命题不成立，并列举了实例.接下来通过添加一些附加条件，判断逆命题是否成立.另外一种命题方式为：假设函数满足3个条件，验证逆命题是否成立，依据条件，提出了三种假设，对这三种假设依次做出分析与论证，从而得出相应结论.

三、关于高阶柯西中值定理的“中间点”δ的渐进性初探

接下来本文将探究基于高阶柯西中值定理的两个渐进性问题，其中一个是当区间[c，d]的断点d→c时，探究柯西中值定理“中间点”δ的渐进性；另外一个是当区间[c，d]的断点d→c时，探究二阶柯西中值定理“中间点”δ的渐进性.这两个问题的分析论证方法相同，基于定理，提出两个假设条件，用泰勒公式进行运算，对运算结果进行处理与分析，从而验证命题是否成立.

以上为本文对柯西中值定理的逆问题与渐进性做出的论述.通过查找文献资料，在已有定理的基础上，提出逆命题并做出了相应论证.其中，针对逆问题的研究，提出了相应的命题并对命题进行了证明，从而验证逆命题是否成立.对于渐进性问题，采用两个引理，分别设定了两个条件，如果满足条件，则通过泰勒公式运算得到4个公式，再次对其进行推理分析，经过验证，确定命题成立.这些研究内容可以为今后柯西中值定理研究奠定基础，从而为定理研究拓宽思路，达到加深对命题理解的目的.

四、总 结

近年来，柯西中值定理逐渐成为人们关注的重点，并加大了在考试中的比重.虽然很多人对此定理有一定认识，其中部分人能利用这个定理求解一些实际问题，但是对定理逆问题的研究不是很多，而柯西中值定理的逆问题与定理的渐进性占据了数学研究领域的重要部分，必须对其给予一定重视.本文在该定理的基础上，将其与渐进性联系到一起进行初探.

【参考文献】

[1]李文娟.柯西中值定理的逆问题及渐进性[J].数学的实践与认识，2014（22）：293-298.

[2]刘丽娜.高阶柯西中值定理中间点的渐近性及误差估计[J].高等数学研究，2014（1）：22-28.

[3]姚元金.柯西中值定理在证明中值问题中的教学体会[J].考试周刊，2016（97）：49-50.

[4]陈新一，王学海.Cauchy中值定理的逆问题[J].甘肃教育学院学报，2004（1）：5-9.

[5]刘鑫.柯西定理的两种证明方法分析[J].神州旬刊，2013（16）：197-198.

[6]王良成，马秀芬，杨明硕.再论Cauchy微分中值定理的逆问题[J].大学数学，2016（5）：101-104.

[7]李昆，董泉发，艾小伟，等.积分型Cauchy中值定理的逆问题[J].南昌航空大学学报（自然科学版），2013（3）：61-64.

[8]刘丽娜.广义积分型Cauchy中值定理及其逆定理[J].淮阴工学院学报，2014（5）：16-20.