推理与证明测试题（A卷）答案与提示

一、选择题

1.D 2.D 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.A 10.A 11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.D 17.A 18.D 19.C 20.D 21.A 22.C 23.B 24.C 25.C 26.C 27.B 28.D 29.B 30.C

二、填空题

31.55

33.3 提示:因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)。因为f(x)=f(x+3),所以f(x)是以3为周期的周期函数。因为Sn=2an+n,所以Sn-1=2an-1+(n-1)(n≥2),两式相减并整理得出an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1)。因此,数列{an-1}是以2为公比的等比数列,首项为a1-1=-2,an-1=-2×2n-1=-2n,所以an=-2n+1,a5=-31,a6=-63。

所以f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3。

34.(1)90 (2)9×10n

35.(1)(2)(3)(4)

36.三角形的三个内角都大于60°

37.P＜Q

38.5

39.甲、丙

40.a≥0,b≥0,且a≠b

42.b与c平行或相交

三、解答题

43.①当n=1时,(2n+7)·3n+9=(2+7)×3+9=36能被36整除,命题成立。

②假设n=k时,(2k+7)·3k+9能被36整除,当n=k+1,有[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)。

由归纳假设知3[(2k+7)·3k+9]能被36整除,而3k-1-1是偶数,所以18(3k-1-1)也能被36整除,[2(k+1)+7]·3k+1+9能被36整除。

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由①②可得对于一切n∈N*,(2n+7)·3n+9能被36整除。

44.①当n=1时,左边=1,右边=2,左边＜右边,不等式成立。

②假设当n=k时,不等式成立,则:

由①②可知,对于任意的n∈N*,不等式a1+a2+a3+…+an＜2n都成立。

因为abc=1,所以a,b,c三数同为正或一正两负。

又a+b+c=0,所以a,b,c只能是一正两负,不妨设a＞0,b＜0,c＜0。

因为|BC|=2|AC|,所以|OC|=|AC|,△AOC是等腰直角三角形,故C的坐标为(1,1)。

(2)由题意知D(-1,1),设所求切线方程为y-1=k(x+1)。

由题设条件知b2=ac,2x=a+b,2y=b+c,因此,2ay+2cx=a(b+c)+(a+b)c=ab+2ac+bc。

又4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+bc+ac=ab+2ac+bc,所以2ay+2cx=4xy成立。

当n=2时,由已知得a1+a2=-1,将代入并整理得