推理与证明中的常见误区

■河南省平舆县第一高级中学高二(8)班 郭艺璇

由一个或几个已知命题得出另一个命题的思维过程称为推理,它可分为合情推理与演绎推理。推理与证明是高中教材的新增内容,同学们在学习时往往会出现这样或那样的错误。下面列举几类推理中的常见误区,也算给同学们提个醒。

误区一：盲目类比

例1 平面几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则两角相等或互补”;在立体几何中,当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,两个二面角( )。

A.互补

B.相等

C.互补或相等

D.关系不确定

错解：C。

剖析：盲目地将立体几何与平面几何进行类比,而不结合实际问题进行分析。

正解：当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,这两个二面角无任何关系。选D。

误区二：归纳不全面

错解：我们不妨先来理解一下题目给出的规律,根据给出的规律再写出几个式子5,…,显然通过处理后的式子的分子与分母都要约去。因此m的值等于前面分解的的系数的积,即m=2n。

剖析：虽然对归纳有了较好的理解,但忽视了一些细节,各式中x的系数积1。

正解：答案为nn。

误区三：忽视题目条件

当k=2时,a0=0;当k=3时,a1=0;当k=4时,a2=0;当k=5时,a3=0;当k=6时,a4=0;据此推测,ak-2=0。

误区四：对演绎推理理解不透

例4 下面是运用演绎推理“三段论”的一个过程:“矩形的对角线相等(大前提),等腰梯形的对角线相等(小前提),所以等腰梯形是矩形(结论)。”上述演绎推理正确吗?

错解：上述推理符合三段论,故推理是正确的。

剖析：大前提与小前提都正确,但最后的结论却是错误的,说明小前提不是大前提的特殊情况,即推理形式是错误的。

正解：在上述推理中,大前提与小前提没有关联,故上述推理是错误的。

误区五：偷换概念

例5 求证:四边形的内角和等于360°。

错解：设四边形ABCD是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=360°,所以,四边形的内角和等于360°。

剖析：上述推理过程是错误的,犯了偷换概念的错误。在证明过程中,把论题中的四边形改为了矩形。

正解：连接四边形的一条对角线,于是四边形被分成两个三角形。依据三角形内角和定理:一个三角形的内角和为180°,于是两个三角形的内角和为360°,故四边形的内角和等于360°。

误区六：使用虚假论据

例6 已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根。

错解：假设三个方程都没有两个相异实根,则Δ1=4b2-4ac＜0,Δ2=4c2-4ab＜0,Δ3=4a2-4bc＜0。

三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2＜0。(*)

故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＜0,此不等式不能成立,三个方程中至少有一个方程有两个相异实根。

剖析：上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ＜0”,事实上,“方程没有两个相异实根时Δ≤0”。

正解：假设三个方程都没有两个相异实根,则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0。

三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0。

故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0。(*)

由题意知a,b,c互不相等,所以(*)式不能成立。

所以假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根。

误区七、生搬硬套数学归纳法

例7 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2。

错解：①当n=1时,左边=1,右边=1,显然成立。

②假设当n=k时,等式成立,即:

1+3+5+…+(2k-1)=k2。

当n=k+1时,有1+3+5+…+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2。

故当n=k+1时,等式也成立。

综合①、②可知,等式对于任何n∈N*都成立。

剖析：上述证明从形式上看好像是数学归纳法,实际上是没有理解数学归纳法的实质,错误地进行死搬硬套,即在假设了n=k时等式成立后,没有推证就直接承认了当n=k+1时等式也成立,这与数学归纳法的原理相违背。

正解：①当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。

②假设当n=k时,等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2。

当n=k+1时,1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2。

故当n=k+1时,等式成立。

综合①、②可知,等式对于任何n∈N*都成立。