构造函数——利用导数解题的先锋

■山东省枣庄二中 杨金林

在解决导数问题时构造函数的思想是非常重要的,因为导数的建立与引入就是为函数的研究而服务的,要想使导数有用武之地就必须构造好函数,下面举例说明。

例1 (2017年高考北京文数)已知函数f(x)=excosx-x。

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

分析：(1)根据导数的几何意义,求斜率再代入切线方程公式y-f(0)=f'(0)(x-0);(2)设h(x)=f'(x),求h'(x),根据h'(x)＜0确定函数h(x)的单调性,根据单调性求得函数的最大值h(x)=0,可知h(x)=f'(x)≤0恒成立,所以函数f(x)是单调递减函数,再根据单调性求最值。

解：(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0。

又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1。

(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx。

点评:这道导数题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多,第二问比较有特点需要求二阶导数。因为f'(x)不能判断函数的单调性,所以需要再求一次导数,设h(x)=f'(x),再求h'(x),一般这时就可求得函数h'(x)的零点,或是h'(x)＞0或h'(x)＜0恒成立,这样就能知道函数h(x)的单调性,根据单调性求最值,从而判断y=f(x)的单调性,求得最值。

例2 (2016年高考山东理数)已知f(x)=a(x-lnx)+

(1)讨论f(x)的单调性;

分析：(1)求f(x)的导函数,对a进行分类讨论,求f(x)的单调性;

当a≤0时,若x∈(0,1),则f'(x)＞0,f(x)单调递增;若x∈(1,+∞),则f'(x)＜0,f(x)单调递减。

综上所述,①当a≤0时,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;

②当0＜a＜2时,f(x)在(0,1)内单调递 增,在内 单 调 递 减,在内单调递增。

③当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增。

(2)由(1)知,当a=1时,则:

设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]上单调递减。

因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以在[1,2]上存在x0使得x∈(1,x0)时,φ(x)＞0,x∈(x0,2)时,φ(x)＜0。

所以函数h(x)在(1,x0)上单调递增,在(x0,2)上单调递减。

点评:求函数的单调区间,应在函数定义域的限制之下,讨论函数导数值的符号。若函数的导数含参数,应分类讨论,分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系。证明函数不等式f(x)＞g(x),主要有两种方法:一是构造函数h(x)=f(x)-g(x),将问题转化为函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值大于0;二是证明f(x)min＞g(x)max。

本题难度大,主要考查利用导数研究函数的单调性、极值,也考查函数与方程、分类讨论、转化与化归的数学思想,同时考查同学们分析解决问题的能力以及推理能力。同学们易错的地方有:一是求函数单调区间时忽视函数的定义域为(0,+∞);二是在第一问中不能准确地对参数a进行分类讨论;三是(2)中的求解在构造函数f(x)-f'(x)=后不能将函数分解为g(x)=x-lnx与-1两个函数,而是将等式右边的式子作为一个整体构造函数,从而不能求得其最值。

例3 (2016年高考新课标Ⅰ卷理)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2＜2。

分析：(1)求导,根据导函数的符号来确定,主要根据导函数零点来分类。

(2)借助第一问的结论来证明,由单调性可知x1+x2＜2等价于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。因此,当x＞1时,g'(x)＜0,而g(1)=0,故当x＞1时,g(x)＜0。从而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

解：(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点。

②设a＞0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)＜0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0。所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。

又f(1)=-e,f(2)=a,此时f(x)在(1,2)上有一个零点。

综上,f(x)存在两个零点。

③设a＜0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a)。

又当x≤1时,f(x)＜0,所以f(x)不存在两个零点。

因此f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增。又当x≤1时,f(x)＜0,所以f(x)不存在两个零点。

综上,a的取值范围为(0,+∞)。

(2)不妨设x1＜x2,由 (1)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以x1+x2＜2等价于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。

设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。

所以当x＞1时,g'(x)＜0,而g(1)=0,故当x＞1时,g(x)＜0。

从而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

点评:破解此类题目需掌握“一构一分”,“一构”是指会构造函数,然后利用导数的知识进行求解;“一分”是指会分类讨论,对于含参的不等式问题或证明存在性的问题,常需要对参数进行分类讨论,而此时往往需要用到前面已证明过的结论。解答此题的关键是由x1+x2＜2转化为-x2e2-x2-(x2-2)ex2＜0,从而构造函数g(x)=-xe2-x-(x-2)·ex,这是本题的难点。

构造函数是处理导数题的重要方法,也是解决导数问题的重要途径,通过不断地构造函数可把同学们遇到的拦路虎一个个地解决掉,最终解决这类问题,这也提醒大家在平时练习中要多体会构造函数的数学价值。