圆锥曲线最值问题的思考

曾月迪，林嘉沁

（莆田学院 数学与金融学院，福建 莆田 351100）

在数学师范生的培养中，中学数学方法论是重要的一门课，其针对数学思想方法，让学生的数学素养得到提升.在教学中，圆锥曲线是重要的一个内容.实际上，圆锥曲线不只是中学数学中的问题，而且其有较多应用，如文[1-3]等，所以我们从中学到大学都对圆锥曲线进行研究.而对于中学数学中圆锥曲线的探讨如文[4]等，其中圆锥曲线中最值问题的考察知识面广，综合性强，对学生知识储备要求高，因此常常作为中学考试和教师招考的热门题型，近几年有较多探讨如文[5]等.本文从一道高中数学联赛题的圆锥曲线最值问题出发，展开思考.

把2013福建高中数学竞赛题预赛12题第2小题[6]问题一般化为：如下图，

问题：已知A、B为抛物线：y2=2px(p＞0)上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限.l1、l2分别过点A、B且与抛物线相切，P 为 l1、l2的交点.设 C、D 为直线 l1、l2与直线 l：x=t(t＞0)的交点，求△PCD面积的最小值.

1 从极端情况探讨问题

性质1 若交点P的横坐标是定值，则P点在x轴上，三角形PCD的面积取到最小值.

证明 设P坐标为 (x0,y0)，x0＜0，过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0)，并与抛物线y2=2px联立得：

若直线与抛物线只有一个交点即直线与抛物线相切，由（1）式得：Δ=0即

由此可知：若 k1，k2为（2）式的两个根，则.设两条相切直线与直线x=t(t＞0)的交点为 C(t,y1)、D(t,y2).不妨设 y1＞y2，则

由此可知若x0,t固定时，当y0=0时，(y1-y2)2最小，即y1-y2最小，所以最小.

从而有：

定理1 设点P在直线x=x0＜0上，则过点P与抛物线y2=2px(p＞0)相切的直线，交直线 l：x=t(t＞0)于 C、D 两点，所构成的三角形PCD的面积当P点在x轴上取最小值，且与抛物线的形状和直线 的位置无关.

性质2 若P点在x轴上，则原点到P点的距离与原点到l的距离的比值为1：3时，三角形PCD的面积最小，此时

证明 由性质1中的证明可知，若P点在x轴上，

注1 设过点P(x0,y0),x0＜0与抛物线y2=2px(p＞0)相切的直线，交直线l：x=t于C、D两点，所构成的三角形PCD的面积当P点在x轴上，原点到P点的距离与原点到l的距离的比值为1：3时取最小值，且与抛物线的形状无关.

2 从问题的正面解决探讨问题

设 y1y2=-a2(a＞0)，|y1-y2|=m，由 (y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=m2-4a2≥0知，m≥2a，当且仅当y1+y2=0时等号成立.

注2 此时，说明当P的横坐标固定时，y1+y2=0，m=2a时，SΔPCD最小.那么P的纵坐标为0，即P点在x轴上，SΔPCD最小，这就是上述极端情况中性质1.

例 (2013福建高中数学竞赛题)：已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限.l1、l2分别过点 A、B 且与抛物线 C 相切，P 为 l1、l2的交点.设C、D为直线l1、l2与直线l：x=4的交点，求△PCD面积的最小值.

解 由上面两种方法可知：

注2 极端原理是关键的数学思想与方法，在师范生数学方法论的教学中，极端原理是关键的一部分内容.极端原理在数学问题研究中，对于存在性是经常讨论的，并与抽屉原理一般相互应用，有较多的研究如文[7]等.而在解决本文中的问题时，两种方法难度系数差不多.第一种方法，具体找出了最值存在的情形.如果利用第二种方法，并没有去探讨的坐标 (其实就是极端情况)，直接求解也是能解决问题的.但是这样就不能找出本质的问题，同时也发现不了问题的实质.

定理2 已知A、B为抛物线：y2=2px(p＞0)上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限.l1、l2分别过点A、B且与抛物线相切，P 为 l1、l2的交点.设 C、D 为直线 l1、l2与直线l：x=t(t＞0)的交点，则所构成的三角形PCD的面积当点A、B关于x轴对称，即P点在x轴上，原点到P点的距离与原点到l的距离的比值为1：3时，△PCD面积取最小值，且与抛物线的形状无关.

参考文献：

〔1〕Liu Y,Xu C.Approximation ofconic section by quartic Bézier curve with endpoints continuity condition[J].Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities,2017,32(1)：1-13.

〔2〕Han X,Guo X.Optimal parameter values for approximating conic sections by the quartic Bézier curves[J].JournalofComputationaland Applied Mathematics，2017,322：86-95.

〔3〕赵欢,喜丘夏.可重建圆锥样条曲线的带多参数三点细分法[J].系统仿真学报,2017,29(11)：2624-2628.

〔4〕崔禹.巧用差分法解决圆锥曲线弦的中点问题[J].数学学习与研究,2017（21）：125-126.

〔5〕韩文美.圆锥曲线中最值问题的求解策略[J].中学生数理化(高二数学),2017（1）：32-33.

〔6〕陈德燕.2013年全国高中数学联赛福建赛区预赛[J].中等数学，2014（03）：29-34.

〔7〕赵泽福.竞赛数学中“存在性”问题的一种解法[J].赤峰学院学报（自然科学版）,2015,31（8）：7-9.