提升能力的复习课教学设计

冯大学

[摘 要] 复习课不仅仅是简单的归纳总结，不仅仅是本章知识点的堆砌，而应该是总结加提升，尤其是解题能力的提升，应该在章节教学之初就有整个章节的整体设计. 章节复习课应该是章节教学的压轴戏.

[关键词] 复习课；能力提升；整体设计

复习课教学功能初探

复习课，许多老师说好上但又难上好，其根本原因是复习课的定位问题. 复习课应该有两个主要功能，一是把书读薄，能够归纳、总结出本章节的主要内容和主要数学思想方法，而传统的做法往往是教师归纳总结，学生显然兴趣不高. 笔者长期采用“不预习下的发现式教学法”，即在新课授课时不准学生预习，课堂上更多的关注学生的思维活动，更多的带领学生思考，创设情境让学生发现问题、发现结论，在这些发现的过程中既训练了学生的思维能力，又增强了他们的自信心. 每次课后作业，首先让学生看书总结，为此，复习课始终坚持让学生自己总结，看着目录总结. 复习课的第二个功能是思想方法的总结、提升，解题能力的提升. 仅仅是回忆和归纳总结，没有深化和提升的复习课，笔者认为不是一节好课. 为此，在章节新课之初，就应有整体规划和设计. 实际上，现在很多专家和一线教师都更注重章节或单元的整体设计，而不仅仅是单课时设计，以确保复习课让学生的能力有进一步的提升，真正让复习课变成章节的压轴戏. 2016年11月，笔者按照这种思路设计与上课，并将所上复习课录像后上传参加“一师一优课，一课一名师”活动，荣获教育部“优课”称号，现以此课为例，对复习课的教学设计谈谈具体想法. 由于整个教学设计内容不多，笔者便先呈现完整的设计，再略述.

一节具体的复习课教学设计

这节复习课的教学内容为“基本几何图形”的复习.

1. 教学目标

（1）知识与技能：通过复习，进一步让学生体会几何问题之间的关系，以及有关的解题思路，提高学生的思维水平.

（2）过程与方法：通过对已学有关内容的复习、问题解法的回忆，及进一步深化探究，引导学生通过观察、猜测得到新的共同规律，从而进一步增强分析问题和解决问题的能力.

（3）情感、态度、价值观：引导学生在类比、猜测等数学活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，进一步树立学生的学习自信心，培养学生大胆猜想、验证、推理的严谨科学态度.

2. 教学重点

复习本章主要内容，理清它们的相互关系，并对有关方法进行深化、总结.

3. 教学难点

引导学生通过类比，想到解决复杂几何问题的突破口.

4. 教学过程

（1）回忆与巩固：请同学们对照书本目录，回忆本章所学内容，注意重点问题和容易错的问题.

①线段、射线、直线；

②比较线段的长短；

③角；

④角的比较；

⑤多边形和圆的初步认识.

整章节的内容可简单概括为图1.

这里有许多可以通过对比来理解、掌握的地方. 表1是我们已经做过的两道题，不知道同学们是否能发现它们类似的地方.

（2）提升？摇

从这章开始，我们会逐步接触几何计算和几何推理，下面，我们来看看我们做过的一道题. 当时还留有思考题，本学期笔者也反复强调要做题后的再思考，笔者希望同学们能够通过思考有新的发现.

试题1：一直线上有4个点，以这些点为端点的线段有多少条？

思考：（1）一直线上有5个点，以这些点为端点的线段有多少条？

（2）一直线上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条（如图4）？

你是怎么考虑的？做法的关键是什么

变式1：平面上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条（如图5）？

变式2：n边形的对角线有多少条？

变式3：平面上有n个点，最多可以确定多少条直线？

试题2：如图6，这里一共有多少个角（这里的角是指小于或等于∠A1OAn的角）？

小结？摇 解决问题的关键是抓住问题的本质，也就是是怎么定义的. 实际上，数学教育名著《怎样解题》（G·波利亚著）里面有一个怎样解题表，他说了一句经典的语：当我们遇到困难时，回到定义中去.

思考题？摇 图7是一个由3×3组成的大正方形，则图中共有多少个不完全重叠的长方形（包括正方形）？如果是由5×4构成的长方形呢（图8）？如果本身是m×n的长方形呢？

对该节复习课设计的说明

笔者用惯例“让学生看着目录回忆”的方式开始复习，具体上课时，笔者直接用PPT显示出目录，让学生回忆主要学习内容，教师根据学生的回答进一步完善，最后用PPT展示结构图，这部分内容用时10分钟左右. 针对部分教师在设计教学目标时往往喜欢“高大上”，往往谈了许多正确的废话的情况，笔者的设计不说废话，真正切合实际，“通过对已学有关内容的复习、问题解法的回忆，及进一步深化探究，引导学生通过观察、猜测得到新的共同规律，从而进一步增强分析问题和解决问题的能力”，强调在回忆的基础上进一步探究，进一步提升. 最初，回憶的两个题目是在新课教学时做过并详细讲评的题目，因为刚刚接触几何问题，这两个题目又有一定的难度，所以新课时都做得不够好，新课讲评时更多的是分析如何寻求结论和条件之间的桥梁，如何恰当地转化，没有更多的分析，但在题目设计时，笔者留下了伏笔：特别注意了字母与数字的设定，为复习课奠定了基础. 果然，在复习课时，学生很快发现了重要的东西：表面上看最关键的是，将试题2中的角度符号和度数符号及字母O去掉后就成了试题1，解答里面的角度和度数符号及字母O全部去掉，试题2的解答就成了试题1的解答. 这种强烈的暗示作用，启发学生在复习时重新思考本章所学内容在方法论上的相同点，以及思考解决这些问题时思考方法的相同性. 通过思考，学生会在表面相同的情况下发现本质的类似，发现解决问题的思维入口，为后续解题提供帮助，从而提升学生的数学解题能力.

提升部分仍需从做过的题目入手，试题1更多的是具体数，可以分类数，分类的方法也多种多样，思考（1）仍然是小变化，和试题1的处理方法可以一样，思考（2）如果还是按照试题1的分类方法来做，会比较困难，迫使学生重新思考解决问题的方法，最后发现，用定义，即线段是由两个端点唯一确定的来解决最简单，从而得到解法：每个点可以和另外的（n-1）个点之一组成一条线段，共（n-1）条，每个点都这样，但每条线段被计算了两次，于是总线段有n·（n-1）条. 当学生发现这个本质后，变式1、变式2和变式3就都迎刃而解了.

由于有前面知识的回忆与总结，提升部分试题2的解答也易如反掌，实际上课中也是如此. 笔者在具体上课时，发现最初两个做过的题目的规律和共同点花了8分钟左右，试题1到变式3结束也不到15分钟. 可见，学生解决后续问题确实是势如破竹. 复习课教会学生以不变应万变的目的达到了.

如果复习课仅仅到提升部分试题2就结束，笔者认为深化提高还不够，因为这里的深化提高更多的还停留在类比阶层，于是，笔者先设计了一个小结，在小结中把解决问题的突破口归结为“从定义出发”，再设计了一个难度较大的思考题.

这个题目大部分学生和部分教师首先想到的可能都是数，按照一定的分类方式来数，然后求和，当然，如果按照一定的规律数，图7也没有问题：面积为1的正方形有9个，面积为2的长方形有6+6=12个，面积为3的长方形有6个，面积为4的正方形有4个，面积为6的长方形有4个，面积为9的正方形有1个，共36个. 但按照这个方法，图8就很困难了，而m×n就更没有办法了，因为无法分类. 那是不是就没有办法做了呢？笔者希望学生能够直接找到问题的本质，从而进行计算.

其实，如果我们注意到所有的长方形的形成的本质在于都是由横、纵两个方向的线段组成的，正如坐标系中的点的坐标一样，当横、纵坐标唯一确定时所对应的点也相应唯一确定了，现在我们需要解决的问题是，是不是只要横、纵两个方向的线段确定后所对应的长方形就唯一确定了，而这个问题的答案显然是肯定的，这样，问题就转化为数不同方向的线段数了. 比如图7，两个方向都有不同的线段6条，于是有长方形6×6=36个.

这样，图8就有各种不完全重叠的长方形150个，m×n的长方形就可以有·=个不完全重叠的长方形. 这里需要注意的是，m×n的长方形一个方向上的最多点是（m+1），而不是m，边上线段的条数应该是，而不是.

正如笔者所预料，课堂上，部分学生5分钟之内就找到了理想的做法. 可见，复习课可以提升且甚至可以大幅度提升学生的能力. 所以，如果我们教学设计恰当，复习课会让学生能力的提升有一个质的飞跃.

进一步思考

数学教学的本质是训练学生的思维能力，笔者在回忆學生做过的问题的基础上进行深化（提升部分的试题1是做过的），最终发现这些问题的解决方法基本一样，所以笔者让学生揭开问题的面纱，抓住数学问题最核心的本质规律. 比如这节课的计数问题，笔者就希望学生能够抓住问题的本质：线段是由两个端点决定的，角度是由两条边决定的. 由于是复习课，需要学生进一步提升，所以笔者在线段问题上就设计了一个问题串，且解决这个问题串的本质方法是一样的.

最近几年，总有关于“高效课堂”的思考，笔者认为，这其实是关于教学价值的思考. 教学价值是教学设计的灵魂，它所回答的问题就是为什么而教，也决定着教什么、如何教. 数学复习课是一章的收尾，即收官之作，因此，笔者觉得在新课时就应规划好什么时候讲什么、怎么讲、讲到什么程度. 我们知道，要教给学生知识，因为知识是基础，要实现任何目标都离不开知识. 爱因斯坦曾说过：“当一个人忘掉了他在学校所接受的东西，剩下来的才是教育.” 笔者认为，对于数学学科而言，剩下来的应该是思想，因为思想是能力的核心，只有思想，才能把知识转化为能力，而更高层次的能力是应用意识和创新意识. 毫无疑问，数学教学的主要任务是培养能力. 其实，对教学的定位不同，境界不同，思考的问题也就不同. 如果定位为知识，你不必考虑教什么，照本宣科就够了，也不必思考怎么教，把知识告诉学生就可以了. 作为知识的终结，只要记住就行了；作为总结课，简单地罗列出本章知识就够了，但这样的复习总结课显然对学生没有吸引力，对于听课教师而言也没有新意，当然也就没有收获. 该节课正是笔者申报评正高级教师的考察课，显然必须要有突破. 虽然，仅仅定位在知识教学，是最省事的教学，但低层次的教学，当然不是好的数学教学. 如果定位在思想，你才会追问知识是怎么来的，解决问题的方法是怎么想到的，此时，你才会去探究知识的来龙去脉，才需要考虑过程，尤其是深究思考的过程，而思想恰恰蕴含在过程之中. 如果定位在基本能力，你才会意识到，数学教学就是数学活动的教学，因为能力是不可“教”的，你不能把能力教给学生，能力是实践的结果，是在自主探究、亲身体验的经历中获得的，而当你着眼于更高层次的能力时，你就不得不思考如何让教学过程成为“再创造”的过程. 所以，在教学之初，展示出两个已经做过的题目让学生进一步思考时，笔者愿意留给学生足够多的时间用于思考，让他们去发现，尤其是让他们发现现象后还要进一步体会透过现象所能够发现的本质. 所谓磨刀不误砍柴工，当学生真正理解方法从而提升能力后，后续问题的解决就非常快了，具体上课的事实也证明了笔者所想是正确的. 笔者始终认为，复习课的教学应该将章节知识与能力推向本章顶峰. 希望我们的教育是真正高效的，也为学生的终身发展奠基，从这个角度来说，复习课的设计尤其重要，好的设计才能真正起到收官之作的目的，好的复习课才能称得上是名副其实的本章节的压轴之作.