初中数学问题解决教学的意蕴

颜科

[摘 要] 本文以“勾股定理”教学为例，论证了课堂是问题解决的最佳场所，问题的提出可以让学生充分演绎已经掌握的数学知识，并将思维延伸到问题解决的过程. 问题解决的过程可以保证学生的知、情、意、行同时参与，因而可以促进学生智慧的成长.

[关键词] 初中数学；数学课堂；问题解决；智慧成长

学生在课堂上的学习过程，可以理解为利用所学知识去分析问题、解决问题的过程. 对于初中数学而言，问题解决已经作为一个重要的内容写入了《义务教育数学课程标准》（2011年版），从学生的角度来看，尤其是从学生成长的角度来看问题及其解决，笔者以为需要挖掘其中别样的意蕴，这样才能让数学课堂生动和谐起来，才能让学生的数学智慧得到生长. 本文试以初中数学“勾股定理”的教学为例，谈谈笔者的四个基本观点.

数学课堂：问题解决的最佳场所

曾经在很长的时间里，数学课堂成为学生厌烦的课堂，一个重要原因，就是学生在课堂上只接触到了生硬的数学知识灌输与数学知识在习题里的应用. 这种简单学习知识、重复运用知识的教学模式，因能够应付考试而在日常教学中大行其道，但当分数的光环掩盖了学生学习的痛苦之后，学生的智慧成长就容易成为一句空话. 所以笔者以为，数学作为诸多学科中语言最简洁且概括性最强的学科，应当成为学生智慧生长的最佳场所，而问题解决则应当成为驱动学生感受数学魅力的重要途径.

“勾股定理”是初中数学中的重要内容，其重要性不但体现在勾股定理的应用价值上，更体现在勾股定理本身的证明原本就是充满魅力的一个过程. 有研究者考证，勾股定理至今已有上百种证明方法，而最初毕达哥拉斯的证明故事更是吸引了数学研究者与爱好者，中国的“勾三股四弦五”则勾画出了中国古人对这一奇异现象的简洁描述. 透过故事的趣味性，笔者注意到这其实也是一个问题解决的绝佳注脚. 以毕达哥拉斯的探究为例，从其对朋友家地砖的观察，到问题的提出，再到问题的解决，这就是一个典型的问题解决过程. 如果能够让学生经历一个类似的问题解决过程，那学生就能够感受到数学学习的魅力，就不会感觉到数学学习是一个生硬的过程. 而要做到这一点并不困难，可以根据教材上给出的材料去创设一个问题情境，如：告诉学生毕达哥拉斯探究的故事（不讲明细节），然后给学生呈现一个类似的图案，让学生去观察、思考，看能否提出类似于毕达哥拉斯提出的问题. 如果能够提出类似的问题，探究则可以顺势利导；如果不能，则教师再给予适当的启发. 待问题提出之后，就进入了解决问题的过程，即探究的过程，这段过程同样可以让学生自主探究，以感受数学研究的魅力（具体的实践过程在下面两点详细描述）.

事实证明，这样的教学设计确实可以让学生感受问题在数学学习中所起的作用，可以让学生感受到提出问题所具有的价值、解决问题所具有的意趣. 而一旦学生进入这样的状态，真正地成长也就有了可能.

发现问题：数学知识的魅力演绎

发现问题是问题解决的环节，也是学生利用已有知识与新的情境发生碰撞的重要环节，在这个环节中，如果学生能够将所学的知识充分运用出来，将此前数学学习过程中所形成的能力充分发挥出来，则可以充分感受到数学知识的魅力.

“勾股定理”教学中，发现问题是需要重点设计的一个环节. 在向学生提供了由不同颜色（课件中以白色和阴影部分呈现）组成的地砖图形时，学生首先感受到的是明暗相间的图形，而少有从“形”的角度去展开研究的，这个时候就需要教师进行引导：同学们仔细观察这一图案，并從我们已经熟悉的“图形”（加强语气）的角度去观察这一图案，看能否有什么发现？

这个问题通常是由教师提出，这看起来是约束了学生的思维，但实际上保证了学生思考方向不过于发散，从课堂效率的角度来看，这样的引导利大于弊. 而学生在接收到这一问题之后，也确实会将注意力集中到对图案规律的研究上来. 于是就有学生能够看到其中大小不同的直角三角形，能够看到大小不同的正方形，在这样的思维基础上，教师再利用现代教学手段，将一个直角三角形及其外接的两小一大的正方形凸显出来时，学生就不会感觉到突兀了.

在这个过程中，教师要注意的是：尽管在问题提出的过程中，教师起到了引导的作用，但仍然可以根据不同层次的学生给予不同的指导. 这就意味着在教学中，教师的教学行为主要是面向学习小组的，要根据不同小组的学习进度进行不同的指导. 笔者在教学中，用同组同质、异组异质的方法来分组，基本功较好的小组，往往能够从中自主发现一个直角三角形及其外接的两小一大的正方形；中等的学生则有这个意识但比较模糊，难以将图形凸显出来，也难以用语言描述；而学困生则主要是将注意力集中在最小单位的图案上.

教师基于这样的现实进行指导，其实可以让不同层次的学生在提出问题的时候有一个夯实的基础，不至于因为问题离自己的认知基础太遥远而对问题缺少感知. 因此，这样提出问题的指导，可以让学生已有的数学知识得到运用与演绎，在笔者看来这是有效的策略.

解决问题：数学思维的有效延伸

解决问题常常是为了有新的发现，对于“勾股定理”这一内容的教学而言，解决问题的不同之处在于：其他的问题往往是有方向的，甚至是有答案的，问题的解决只是要寻找一个科学的过程而已. 勾股定理的证明则与之不同，当学生看到一个直角三角形（实为等腰直角三角形）及其外接的两小一大的正方形时，他们未必想到从面积关系的角度去有所发现. 而此时教师的指导就面临着两难：如果一提醒，那答案几乎就呼之欲出了，如果不提醒，那学生可能需要思考很长时间，也未必能够想到从面积关系的角度切入去得出直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方. 怎么办？

笔者的办法是利用现代教学手段，将等腰直角三角形外接的两个小正方形“切割”成四个三角形，然后将大正方形的两对角线连接，这样则得到了四个三角形. 事实证明，只要做这么多，学生就会发现上面得到的四个三角形，是可以与下面的四个三角形重合的，教师此时即以期待的眼神看着学生：重合意味着什么呢？有学生可能会给出其他的回答，但肯定会有学生的视角开始伸向“面积”. 而这个思维难点一旦突破，几乎所有的学生都能根据面积关系写出表达式，而表达式一出，勾股定理基本上也就明晰了.

在这样的问题解决过程中，如果注意分析学生的思维，可以发现：首先，学生的思维经历了从形象向抽象过渡的阶段. 这里有两个表现：一是从“图案”向“图形”的转变，这里有一个数学抽象的过程；二是根据面积关系得出表达式，这是用数量关系描述形，是数形结合思想的自然运用. 这两步思维可以说是此问题解决的两个核心，由于教师没有直接引导，因而这个过程中学生具有显著的自主特征. 在这样的过程中，学生的思维从无意识地观察图案到有意识地研究图形，从观察形的位置关系到通过面积关系得出等腰直角三角形的直角边与斜边关系，如果算上其后的演绎，则还包括一般直角三角形的直角边与斜边的关系探究等. 这是一个思维不断延伸的过程，也正是因为思维在不断延伸，学生才不断有新的发现，数学知识才不断地得到了建构.

智慧成长：问题解决的教学价值

相对于传统的教学而言，笔者总感觉到基于问题解决的初中数学教学能够更好地让学生畅游在数学知识的海洋中. 学生学起来没有压力，反而在问题解决的驱动之下表现得动力十足，学生在问题解决的过程中可能会走弯路，但这些弯路如果从思维的角度来看，也有十分重要的教学价值. 因为弯路其实就是学生思维的特点，通过学生思维的结果，可以知道不同层次的学生所表现出来的思维特征，因而教师的教学也就可以更具针对性.

更重要的是，如果从学生的角度来看，问题解决可以让他们更充分地调动已经掌握了的数学知识去解决问题. 而即使是对于学困生而言，虽然他们掌握的数学知识偏少，但只要进入了那个情境，他们也会下意识地倾听别人的想法，还会主动地向他人询问自己没有掌握的知识. 在“勾股定理”这一探究过程中，笔者就注意到有学困生提出这样的问题：为什么两个小正方形的面积加起来等于大正方形的面积，就可以得到中间等腰直角三角形三条边的关系？笔者一听到这个问题，就知道他没有将表示面积的a2转换为表示直角边长度的平方. 这种转换对于学困生而言，可能真就是个困难，但这个困难的解决，同样也就促成了他们数量关系转化意识的建立，因此这就是一个智慧生长的过程. 对于其他学生而言，这样的情形就更多了.

总之，初中数学教学中利用问题的发现与解决，进而将问题解决作为数学教学的重要途径，在促进学生数学知识建构的同时，可以让学生的成长更具智慧性.