浅谈函数与导数中的创新试题的类型及解题思路

■河南省许昌实验中学 宋金旺

在近几年的全国及各地的高考试题中,创新型试题不断出现,给人耳目一新的感觉,究其实质,基本是以函数的图像性质和导数为平台,构造出新颖的题目,大体可以分为四类：(1)新定义新概念型;(2)新的运算符号型;(3)以函数的某些特征定义函数的新的性质型;(4)结合试题特点创新解题方法和解题过程型。这就要求同学们在熟练掌握函数图像、函数性质、导数应用等基础上认真阅读题目,理解题设要求和符号含义,收集整理有效信息,将问题适时转化为已知问题加以解决。

一、新定义新概念型创新试题

解决此类问题时,同学们结合题设条件,将所给定义符号恰当转化为已知问题加以处理即可。

例1对于函数f(x)和g(x),设α∈{x∈R|f(x)=0},β∈{x∈R|g(x)=0},若存在α,β使|α-β|≤1成立,则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”,若f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3是“零点相邻函数”,则a的取值范围是( )。

解析：依题意知α是方程f(x)=0的实数根,由ex-1+x-2=0解得唯一解x=1,所以α=1。又由于|α-β|≤1,即|β-1|≤1,所以0≤β≤2。而β是函数g(x)=x2-ax-a+3的零点,即函数g(x)=x2-ax-a+3在x∈[0,2]内有零点。

图1

在图2中只需g(0)g(2)≤0,即(3-a)·(7-3a)≤0,解得

综上,得a的取值范围是[2,3]。

图2

归纳总结：由于函数的零点是定值,所以本题的实质是二次函数根的分布问题,即g(x)=x2-ax-a+3在x∈[0,2]内有零点,分别讨论g(x)=x2-ax-a+3在x∈[0,2]内有两个零点和一个零点的情况。而Δ=a2-4(a-3)＞0,所以分两种情况讨论即可。此类问题将新定义新概念恰当地转化为已知问题,用已有的知识将问题表示出来。

二、定义新运算符号型创新试题

此类试题的特点是重新定义新的运算符号对代数式进行运算。求解此类试题,同学们应理解运算符号的实质含义,并将其转化为常规数学运算模式,对问题进行解决。

例2对于实数a,b,定义运算“☉”,设函数f(x)=(2x-1)☉(x-1),若关于x的方程f(x)-k=0有三个不同实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是____。

解析：由题意知,当2x-1≤x-1,即x≤0时,f(x)=-(2x-1)2-(2x-1)·(x-1)=2x2-x;当2x-1＞x-1,即x＞0时,f(x)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x,所以即将问题转化为分段函数,方程f(x)-k=0的根实质上是直线y=k与函数y=f(x)的图像交点横坐标,本题的目标是求两曲线交点横坐标的积的范围。如图3所示,当x＞0时,方程-x2+x=k的两根为x2,x3,则x2x3=k,x2+x3=1,其中所以

当x≤0时,f(x)=2x2-x,则x0＜x1＜0,由,解得所以

归纳总结：本题将新运算转化为普通运算后,所求问题变成求分段函数与直线的交点问题,可借助函数图像加以解决。

图3

三、构造函数的新性质,判断一系列函数是否具有该性质及相关问题

例3已知函数y=f(x),x∈R,对于函数y=g(x),x∈D,定义：y=g(x)关于y=f(x)的“对称函数”为y=h(x),x∈D。h(x)满足：对于任意x∈D,两个点(x,h(x))和(x,g(x))关于点(x,f(x))对称。

若h(x)是关于f(x)=3x+b的“对称函数”且h(x)＞g(x)恒成立,

则实数b的取值范围是____。

图4

解析：易知y=g(x)的图像是以原点为圆心,2为半径的半圆,如图4所示。由“对称函数”定义可知(x0,h(x0))与(x0,g(x0))的中点是(x0,f(x0)),∀x∈[-2,2],恒有h(x0)+

g(x0)=2f(x0)成立,所以h(x0)=2f(x0)-g(x0)＞g(x0),所以f(x0)＞g(x0)。

所以直线f(x)=3x+b在y=g(x)的图像的上方,且与半圆相离,从而可得所以

所以实数b的取值范围是

归纳总结：关于新定义的函数性质的实质仍是函数的某种特性的另类表达形式,读懂题意将其转化为已知的函数图像性质加以解决即可。

四、解题方法与过程的创新,结合题设条件和数值特点,将问题等价转化为其他知识体系,运用相关知识加以解决

例4已知函数

f(x)=的图像上有且仅有三对点关于y轴对称,则实数a的取值范围是___。

解析：要使函数y=f(x)的图像上有三对点关于y轴对称,只需使函数y=logax(x＞0)关于y轴对称的函数y=loga(-x)(x＜0)与有且仅有三个交点,该交点关于y轴对称的点必在y=logax(x＞0)的图像上。

图5

如图5所示,要使y=logax,x＜0与y=有且仅有三个交点,则解得故实数a的取值范围是

归纳总结：抓住题设条件的数值特点和结构特征发散思维,合理想象,适时转化是培养同学们的创新能力和创新意识的重要途径。