失之毫厘,谬以千里——例谈高中数学试题命制中的三个注意

■河南省登封市教学研究室 谢有才

同学们在做数学试题的时候,常常会遇到一些改编题出错了,给审题造成困扰。这些题一般有三个特点,希望能引起同学们的重视。现举例说明。

一、试题用词不准确

2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2),若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a的取值范围是( )。

A.(-4,-2) B.(-∞,2)∪(7,+∞)

C.(2,7) D.(-5,-2)

解析：求导可得f'(x)=x2+ax+2b,由题意可知所以a,b满足的区域如图1所示(不包括边界),因为b-2a在B(-1,0)处取值为2,在C(-3,1)处取值为7,所以b-2a的取值范围是(2,7)。

图1

评注：在本题中描述的是极值为f(x1),f(x2),既不能说明在x1,x2处取得极值,也不能说明x1,x2是极值点,更不能转化为x1,x2是方程f'(x)=x2+ax+2b=0的两个根。这说明试题在用词上不够确切。应改为“已知函数的两个极值点分别为x1,x2”。

二、示意图信息模糊

例2已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图2所示是其运动轨迹的一部分,若时,s(t)＜3d2恒成立,则d的取值范围为____。

解析：因为质点的运动方程为s(t)=所以由图2可知,s(t)在t=1和t=3处取得极值,则s'(1)=0,s'(3)=0,即解得所以

图2

所以当t=1时,s(t)取得极大值4+d。

又因为s(4)=4+d,所以当t∈时,s(t)的最大值为4+d。因为当时,s(t)＜3d2恒成立,所以4+d＜3d2,即或d＜-1。

评注：对于这个解答,经分析不难得出s(0)=s(3)=d。从图中可以看到s(3)＜0,应该有d＜0,借此继续分析s(1)＞0得d＞-4。也就是说示意图中除了反映出“s(t)在t=1和t=3处取得极值”,还有其他影响d取值范围的信息可以进一步挖掘。

三、参考解法超纲

例3已知0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有恒成立,则a的取值范围是( )。

A.(0,1] B.(1,+∞)

C.(0,1) D.[1,+∞)

解析：由题意得当且仅当即时取等号,所以所以

评注：对于解答中为什么会出现呢?显然运用高中知识解释不通。规范解答如下：不妨设令有在(0,+∞)是单调增函数,则∀x∈(0,+∞),h'(x)≥0恒成立,分离参数得a≥x(1-x)max,解得a≥1。

数学知识是严谨、严密、精确的,这样才能培养出良好的数学素养。