例析基本不等式中“1”的代换及应用

■南京市程桥高级中学 李素文

高三数学复习以专题形式展开,将知识、方法、数学思想进行梳理,使同学们拥有体系化知识架构和建立常见题型的解题模式,提高同学们的能力。高三复习注重课本的回归,在复习基本不等式时,笔者针对基本不等式中“1”的代换及应用进行了总结归类,开展针对性训练,化解同学们眼中的难点。

一、直接用“1”的代换

例1已知正数x,y满足x+2y=1,

分析：直接对乘以1,然后将“1”换成条件中的公式,展开化简,利用基本不等式求最值。

解：因为x＞0,y＞0,所以当且仅当即时等号成立。

变式：已知正数x,y满足则x+2y的最小值为___。

解析：因为x＞0,y＞0,所以当且仅当即时等号成立。

所以x+2y的最小值为

二、变换条件用“1”的代换

例2已知a＞0,b＞0,a+b=2,则的最小值为___。

分析：已知条件a+b=2中,虽然没有出现“1”的等式,但通过变形可以化为

解：因为a＞0,b＞0,由a+b=2,得

三、构造条件用“1”的代换

例3已知a＞b＞0,a+b=1,则的最小值为____。

分析：条件已经给出了“1”的等式,若按照例1的方法去做,不能转化成两数的和为定值的形式,因而不能利用基本不等式。转换思路,利用换元法求解。令m=a-b,n=2b,则,则问题转化为：已知m＞0,n＞0,m+n=1,求的最小值。形式与例1相似。

四、基本不等式“1”的代换的综合应用

1.与函数的结合。

例4已知函数y=ax+b(b＞0)的图像经过点P(1,3),如图1所示,则的最小值 为。

图1

分析：由条件知a+b=3,a＞1,b＞0。要求的最小值,通过换元法,令m=a-1,n=b,问题进而转化为：已知m＞0,n＞0,m+n=2,求的最小值。解答过程同例2。

2.与立体几何的结合。

例5如图2,设正四面体ABCD的棱为棱AB上任意一点(不与A,B点重合),且点P到平面ACD,平面BCD的距离分别为x,y,则的最小值为。

长为

图2

分析：如图3,连接PC,PD,由VA-BCD=VP-ACD+VP-BCD,即化简整理得x+y=2。问题转化为：已知x＞0,y＞0,x+y=2,求的最小值。解答过程同例2。

3.与解析几何的结合。

例6若直线ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值为。

分析：由题意知,直线ax-by+2=0(a＞0,b＞0)过圆心(-1,2),得到a+2b=2,问题转化为：已知a+2b=2,a＞0,b＞0,求的最小值。解答过程同例2。基本不等式中“1”的代换及应用,对同学们来说是难点,究其原因是同学们没有理解利用基本不等式求最值的关键是必须凑成常数,满足“一正、二定、三相等”的条件。