2018年全国高考数学考纲关键词解读及预测分析（3）——函数与导数

■北京市第十二中学高中部 高慧明

一、函数概念与基本初等函数中的关键词——函数、指数函数、对数函数、幂函数

1.函数。

(1)会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数。

(3)能理解简单的分段函数(函数分段不超过三段)。

(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;了解函数奇偶性的含义。

(5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质。

2.指数函数。

(1)理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算法则。

(2)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为的指数函数的图像。

3.对数函数。

(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数。

(2)理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为的对数函数的图像。

4.幂函数。

5.函数与方程。

结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数。

6.函数模型及其应用。

了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

解读：如同谈论钓鱼岛先谈其主权归属问题一样,“函数”问题优先考虑定义域,定义域隐含在与函数有关的每一道考题中,成为考生解题过程中的“影子杀手”。分段函数与函数的奇偶性、单调性、零点、解不等式等问题的综合成为近几年高考命题的热点,解决此类问题要注意数形结合、转化与划归等思想方法的综合应用。

分析函数性质的时候,命题者往往是将函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等进行综合考查,对于数形结合这么好用的工具,千万要熟练掌握。指数函数的图像和性质往往与其他知识相结合综合命题,不要忘记其底数对函数单调性的影响。要注意对数的运算与化简问题,特别是换底公式与幂的对数的运算。

定义域成为对数函数的一块“心病”!基本的对数函数的图像要会画,这是利用数形结合方法解题的基本功,当然也不要忽视底数对单调性的影响。对幂函数应注意其图像的变化特征。零点是高考命题的热点,函数的零点与函数的性质、函数的极值等相结合,背景多样化,常以方程的根、两函数图像的交点等形式出现,要注意转化。研究分段函数的时候,尤其要注意它的单调性的分析,要充分利用函数图像进行性质分析。

二、导数及其应用中的关键词——导数的几何意义、求导法则、单调性

(1)通过函数图像直观理解导数的几何意义。

(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数。

(3)能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)。

(4)会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)。

(5)会用导数解决某些实际问题。

解读：在通过函数图像直观理解导数的几何意义时,切记“函数图像上某点处切线的斜率为该点的导数值”。基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则是求解函数的导数的重要依据,一定要准确记忆,熟练灵活应用。能求简单的复合函数的导数,说明复合函数中的内函数仅限于一次函数,其他就超出考纲要求了。“函数单调性和导数的关系”虽为了解,但后面提出的“能利用导数研究函数的单调性”才是高考命题的重点,而且大多涉及含参函数的单调性!会用导数求函数的极值与最值,“会”这个字的要求并不低,不要忽视!定积分的要求为“了解”,但在高考中常考,所以不仅要了解,而且要会求,还要会用!

导数综合问题对考生能力层次要求比较高。首先,要熟练掌握常见函数的导数及求导运算法则;其次,要对最值、极值、极值点的概念能明确进行辨析。求函数的极小值时,仅仅有f'(x0)=0并不足以说明x0是极小值点,需要说明函数的单调性。在导数问题中,需要涉及分类讨论的思想方法,是高中数学知识的一个难点。

命题预测：全国卷对函数与导数的命题：2～3个小题,1个大题,客观题主要以考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主,也有可能与不等式等知识综合考查,全国卷近几年在选择、填空题部分强化了对导数函数问题的研究,强调导数研究函数的性态这一特征(强调对特征值、特征线的认识),综合性较强;对于由指数函数、对数函数与幂函数的积、商构成的函数,其函数性质、图像走势构成解决问题的基础,对此同学们应该掌握;解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式等的应用问题。

例1已知函数f'(x)为函数f(x)的导函数。

(1)当a=1时,求函数f(x)的极小值;

(2)当a≥0时,求函数g(x)=f'(x)·x2-(2a+1)x的单调区间。

解析：(1)当a=1时

若f'(x)=0,得x=1。

当0＜x＜1时,x2＜1,lnx＜0,所以x2+lnx-1＜0,即f'(x)＜0,所以f(x)单调递减;

当x＞1时,x2＞1,lnx＞0,所以x2+lnx-1＞0,即f'(x)＞0,所以f(x)单调递增。

所以函数f(x)的极小值为f(1)=0。

(2)g(x)=f'(x)·x2-(2a+1)x=ax2+lnx-1-(2a+1)x,则

之后对a进行分类讨论即可。

例2已知函数f(x)=(x-2)ex+ax2+bx,x=1是f(x)的一个极值点。

(1)若x=1是f(x)的唯一极值点,求实数a的取值范围;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)若存在正数x0,使得f(x0)＜a,求实数a的取值范围。

解析：(1)f'(x)=(x-1)ex+2ax+b,因为x=1是极值点,所以f'(1)=0,得2a+b=0,即b=-2a。

因为x=1是唯一的极值点,所以ex+2a≥0恒成立或ex+2a≤0恒成立。

由ex+2a≥0恒成立得2a≥-ex,又ex＞0,所以a≥0;

由ex+2a≤0恒成立得2a≤-ex,而-ex不存在最小值,所以ex+2a≤0不可能恒成立。

综上可得a≥0。

(2)由(1)知,若a≥0,则当x＜1时,f'(x)＜0;当x＞1时,f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。

当x＜ln(-2a)时,f'(x)＞0;当ln(-2a)＜x＜1时,f'(x)＜0;当x＞1时,f'(x)＞0。

所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减。

(3)当a≥0时,f(1)=-e-a＜a,满足题意。

故a的取值范围为或a＞-2。

例3已知定义在正实数集上的函数其中a＞0。设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同。

(1)用a表示b,并求b的最大值;

(2)求证：f(x)≥g(x)(x＞0)。

解析：(1)设两曲线的公共点为(x0,y0),

由题意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),即

当t(1-3lnt)＞0,即时,h'(t)＞0;当t(1-3lnt)＜0,即时,h'(t)＜0。

故h(t)在上为增函数,在上为减函数。

所以h(t)在(0,+∞)上的最大值为即b的最大值为

所以F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数。

所以F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0。

故当x＞0时,有f(x)-g(x)≥0,即当x＞0时,f(x)≥g(x)。

注意：(1)利用导数解不等式,一般可构造函数,利用已知条件确定函数单调性解不等式。

(2)证明不等式f(x)＜g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),利用导数求F(x)的值域,从而得到F(x)＜0即可。

(3)利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题。

例4已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴的交点的横坐标为-2。

(1)求a;

(2)证明：当k＜1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。

解析：(1)由已知可得f'(x)=3x2-6x+a,所以f'(0)=a,所以曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2。

(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2。

设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4。

由题设知1-k＞0,当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k＞0,g(x)单调递增。

因为g(-1)=k-1＜0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根。

当x＞0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x＞h(x)。

因为h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增。

所以g(x)＞h(x)≥h(2)=0。

所以g(x)=0在(0,+∞)上没有实根。

综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。

注意：研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图像,研究其走势及规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。

总结：(1)利用导数的方法证明不等式f(x)＞g(x)时,找到函数h(x)=f(x)-g(x)的零点是解题的突破口。

(2)在讨论方程的根的个数、研究函数图像与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用。

(3)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较。

提醒：(1)利用导数解决恒成立问题时,若分离参数后得到“a＜f(x)恒成立”,要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到。

(2)利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义。

【同步练习】

(1)求证：f(x)的图像关于点M(a,-1)对称;

(2)若f(x)≥-2x在x≥a上恒成立,求实数a的取值范围。

2.已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f'(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c。

(1)确定a,b的值;

(2)若f(x)有极值,求c的取值范围。

3.已知函数在x=1处的切线方程为

(1)求a,b的值;

(2)当x＞0且x≠1时,求证：f(x)＞

【参考答案】

1.(1)设f(x)的图像上任一点为P(x,y),则关于点M(a,-1)的对称点为P'(2a-x,-2-y),则

说明点P'(2a-x,-2-y)也在函数y=f(x)的图像上。

故f(x)的图像关于点M(a,-1)对称。

(2)由f(x)≥-2x,化简为(2x)2+2a·2x-2·2a≥0在x≥a上恒成立。

令t=2x≥2a,则g(t)=t2+2a·t-2·2a≥0恒成立,因为y=g(t)的对称轴为x=所以y=g(t)在[2a,+∞)上递增,所以g(2a)≥0,解得a≥0。

2.(1)f'(x)=2ae2x+2be-2x-c。

因为f'(x)为偶函数,所以f'(-x)=f'(x)恒成立,即2ae-2x+2be2x-c=2ae2x+2be-2x-c,得a=b。

因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c,所以f'(0)=2a+2bc=4-c,得a=b=1。

(2)由f(x)有极值知f'(x)=2e2x+存在零点,即y=2(e2x)2-c·e2x+2存在零点。

记t=e2x＞0,则上式可写为y=2t2-c·t+2(t＞0)。

当x∈(0,1-ln2)时,F″(x)＜0,故F'(x)在(0,1-ln2)上为减函数;

当x∈(1-ln2,+∞)时,F″(x)＞0,故F'(x)在(1-ln2,+∞)上为增函数。

图1

因此,对一切x∈(0,+∞),有F(x)≥F(1)=0,即在(0,+∞)上都成立。

又G(1)=0,所以当0＜x＜1时,G(x)＜0,即所以当x＞1时,G(x)＞0,即lnx-,所以