关于数列综合题的多视角突破探析

吴卫东

[摘  要] 數列指的是有序数组的集合，是高中数学重要的知识内容，以此为背景的高考压轴题趋向于知识综合化，即将数列内容与其他知识相结合，考查学生的基础知识和综合问题的处理能力，如将数列与不等式、函数相融合. 对于该类综合问题一般存在多种解题视角.

[关键词] 数列;不等式;函数;综合;多解;思维

考题呈现

（2018年江苏高考数学卷第20题）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列.

（1）设a1=0，b1=1，q=2，若an-bn≤b1对n=1，2，3，4均成立，试求d的取值范围;

思路突破

第一问：定数列，不等式恒成立的取值

该问已知等差数列{an}的首项a1，等比数列{bn}的首项b1和公比q，求an-bn≤b1对n=1，2，3，4均成立时d的取值，只需要将n=1，2，3，4分别代入不等式，从而列出不等式组，通过求不等式组中d的取值即可.

第二问：不定数列，不等式恒成立的取值.

对于上述式11的证明有两种思路：思路一是数列角度，将不等式拆成两个新的数列，通过后项减前项的方式来证明;思路二是函数角度，通过缩放来证明，求取值则可以从不等式中提取出共有部分，构建新的函数，通过分析函数的单调性来完成. 下面将分别从上述两个角度来完成证明和求取值范围.

解法一——数列角度

解法二——函数角度

突破思考

1. 解题突破的关键解读

而问题（2）是在问题（1）基础上的拓展，同样是证明不等式问题求公差d的取值，所不同的是由于删去了数列的特征值，使得不等式问题变为含参不等式. 因此问题的关键点有两个：①是如何结合数列对不等式问题进行转化，②是如何讨论不等式中的参数. 上述方法在对关键点①处理时均采用数列代入的方式，所不同的是后续对不等式证明时，方法1采用构建新的不等式，转化为研究数列性质问题，方法2则是构建新的函数，转化为研究函数性质问题. 对于关键点②的处理，均借助导函数研究对象性质的方式.

2. 解题思路的归纳解读

考题表面上属于数列问题，但剖析问题本质，求不等式恒成立时的参数取值范围，实际上就是研究不等式特性，考虑到不等式是由数列构成，而数列的通式也可以看作是函数，因此可以从两个角度进行解题思路构建，上述的两种解法就是分别从数列性质研究和函数性质研究来开展的. 对于数列不等式的参数求解题，可以从研究数列性质和研究函数性质两个方向进行，在研究性质过程中也可以适当结合图像，精准确定对象的性质.

教学建议

本文选取2018年江苏高考的数列与不等式的压轴题，通过对问题的突破思路讲解，挖掘了该类问题的多角度求解策略，并对解题过程的关键点、模型构建方法和解题思路进行了剖析，以求通过典型问题的分析达到“解题知法”的目的，为学生的解题思维的拓展提供帮助，下面是笔者关于本题的一些教学建议.

1. 重基础，识本质

新课标明确指出要让学生通过数学的探究学习掌握基本的知识和技能，其中基础知识包括数学的基本概念、定理和公式，这些都是反应数学规律的本质内容. 如数列问题，需要学生掌握数列的定义、对应通式、性质和求法，不等式问题则需要学生掌握不等式的基本定义、解不等式的方法. 同时通过对应内容的学习深入理解内容的本质，即数列是反应数变化规律的式子，而不等式是对数大小的一种反映，因此均可以从性质研究角度来进行. 在高中的复习阶段，教师要引导学生注重知识基础，深入挖掘知识本质，提升学生认知的维度和深度.

2. 知通性，学通法

通性通法指的是反映数学研究对象本质的研究方法，指的是在解题时以数学的基本概念和原理为起点，运用基本的公式和定理来对问题进行分析. 如上述研究数列的性质时采用前后项互减的方式，研究函数性质则采用分析导函数的方式，对连续不等式的分析采用构建不等式组的方式，这些都是对应问题最基本的解法. 因此，在解题教学中有必要强调研究对象的本质解法，让学生掌握问题的基本求解思路，从而可以在拆分复杂问题后运用本质方法一一攻破.

3. 勤思考，多联想

在当下考题向多样化发展的趋势下，学生在掌握基本知识和本质解法后还需要适当地进行拓展联想，包括对知识内容和解题方法的融合拓展，如上述数列不等式问题，就需要理解不等式与数列的结合点——特征参数，了解该类问题的分析视角——函数与数列. 各种解法之间是对立与统一的关系，有融合也有自身的特点，教师需要做的就是通过一题多解的训练方式，促进学生知识的融合，拓展学生的解题思路，帮助学生形成多角度思考、多层面分析、多方法融合探究的习惯，以提升学生思维的开放性、拓展性和创新性为主要教学目标.