数学课如何体现“教”的意识

谭光友

[摘  要] 提高数学课堂的教学质量，关键在教师的“教”，哪些内容需要教，应该如何教，这需要教师在教学过程中具有“教”的意识. 本文以《等差数列》的教学为例，详细讲解了数学教师应该如何教数学.

[关键词] 数学课;教的意识;等差数列

作为数学教师，如何在课程标准的指引下去教数学？有“教”数学的意识吗？的确，数学课要“教”什么，作为数学教师的我们是否都清楚？笔者想，所谓“教”的意识，一方面是要能够准确把握所教授知识的本质，在上课之前好好想一想，这节课要教给学生什么？另一方面要明确“教”学生什么样的思考问题方法，这种思维的特征是什么？如何在理解问题的基础上制定解决问题的方案或策略？

课堂上教师要教什么

我们把数学知识分成三层，最底层是示例，中间层是方法，顶层是数学原理，即数学思想. 作为教师在课堂上要有“教”的意识，就是在教学之前要想清楚这个知识的顶层是什么？只有弄明白了这个问题，我们才清楚这个课究竟要教什么.

以《等差数列》为例，那么《等差数列》的顶层知识是什么呢？新课程标准要求：探索并掌握等差数列的通项公式，能在具体的问题情景中发现数列的等差关系，并能用有关的知识解决相应问题，体會等差数列的通项公式与函数的关系. 由课程标准不难看出，《等差数列》的顶层知识是用函数的思想与观点去认识数列的，那什么是函数思想？函数思维即是变量思维，用变量的观点去分析数列，数列是一种特殊的函数，其自变量为非零自然数，教数列应该站在函数的角度去分析和研究，这样思路就有了，等差数列中谁是变量，变量在哪个范围内变化，变量之间存在什么样的关系？而《等差数列》的研究方法，从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩展到一般.

1. 等差数列的定义

课程标准指出：通过实例理解等差数列的概念. 人教版教材从特殊例子入手，让学生体会从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数. 但通过对实例的体会，学生是否就能深刻地理解这个概念呢？事实上，对概念的理解，就是通过学习让学生明白理解和解决这类问题的思维规律，这显然不是学生从简单的实例能体会获取的. 从其顶层知识看，数列即函数，这里的项数是自变量，自变量n满足的条件n>1，而等差数列的自变量与函数值之间始终满足f（n）-f（n-1）=d（d为常数），即an-an-1=d. 教师的“教”要体现在让学生从函数的角度认识等差数列，要让学生形成等差数列的思维方法，即当n>1时，其前一项an即f（n）与后一项an-1即f（n-1）的差为一个常数. 对等差数列的理解，学生的困惑：①为什么从第2项起？这里需要教师给学生指明其含义，变量n是非零的自然数，要确保关系式中能够取到数列的首项，即a2-a1=d，所以对一般关系式而言，an-an-1=d（n≥2）或an+1-an=d（n≥1）. ②每一项与前一项的数学关系. 这个定义是利用完全归纳的思想来表述的，故这里的每一项就是要包括数列当中的所有项，而不是部分项，每一项如何用数学式子表示，这里采用了函数的思想，引入变量n∈N*，所以每一项用an表示，其前一项便是an-1了，故其数学关系式有an-an-1=d（n≥2）. ③这个定义的应用. 数学定义就是思维的方向，如何应用定义解决相关问题，教师要“教”会学生怎么想，凭什么这么想.

2.？摇等差数列的通项公式

这个通项公式是通过叠加法得到的，新课标要求学生不仅要记住并能应用公式解题，还在能力上要求学生会用归纳、叠加等技巧解决数列的综合问题. 基于这个要求，其顶层知识的公式怎么来的？这个公式的数学价值以及公式将往哪里去，即公式的应用是什么？公式的教学中要“教”什么呢？笔者以为，数学公式是数学解题思维的起点，公式的推导要从思维的角度即怎么想到这种方法来进行，为什么这么想？这种思维方法有什么现实的意义？等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d中，要从函数角度加以分析变量之间的关系，让学生清楚第n项an与第m项am之间的关系an=am+（n-m）d（n>m），通项公式中an是关于n的一次函数，而这里的公差d的几何意义如何？对于等差数列的通项公式的“教”要从公式的推导过程、叠加思想的思考过程进行，即怎么想到这个方法，这个方法有何应用价值？通过教师的“教”要让学生从函数的角度认识形如f（n）-f（n-1）=g（n）来解决f（n）的一般思维方法.

所以，搞清楚数学知识的顶层知识是“教”的前提，教师在上课前要明白这节课你到底要干什么，通过教师的“教”达到什么目的. 对所教内容要有自己的思考和研究，而不是照本宣科，或者简单地将一个定义加上几道例题. 要弄明白数学知识之间的逻辑联系和思维方法.

在教学过程中如何教

“教”是为了不教，“教”的目的是为了学生的“学”，一节课中哪些内容需要教师的“教”，如何“教”，这也是教师在上课之前要做到心中有数的. “教”在学生“朦胧”处，于学生“迷茫”中指引方向，给学生以思维的启迪. 上课不能照本宣科，那么，怎样“教”才能“教”出感受呢？有了前面的准备和研究，作为教师本人的感触就应该比较深了，我们要教给学生的、让学生看到的是，你是怎样学习的，你是怎样提出问题、思考问题、解决问题的，也就是你是怎样做学问的.

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时. 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用. 等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出了数列的两种方法（通项公式和递推公式）的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广. 同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”“类比”的思想方法.

1. 等差数列的定义

引入：观察一组数列：①2，4，6，8， 10，12;②8，6，4，2，0，-2，-4;③a，5a，9a，13a，17a（a为常数）.

笔者在听课中经常看到有教师这样处理，提出问题：你能发现这组数列的共同规律吗？这样的提问对于预习过的学生或者数学基础较好的学生的确能观察出教师所希望回答的规律，而事实上对有一部分学生来讲，并非一下子就能发现这个规律，因为这些学生并不知道从哪里入手，思考什么问题. 教师的“教”就是要给学生一个思考的方向，要让学生明确要做什么.

教师：大家观察这组数列，从运算的角度分析一下每组数列中项与项之间存在什么样的关系？这样的提问传达给学生的信息是明确的，学生知道要思考什么，自然能得出后一项与前一项的差都相等.

教师：你能把这个规律用一个数学关系式表示出来吗？面对这个提问，学生感到茫然，似乎可以写出关系式但又不知道写什么. 这就是教师“教”得不明确. 但如果用数列中的某一项来表示每一项：你觉得这一项是什么，如何表示？学生容易想到第n项an，我们用an来表示数列的每一项，请同学们根据发现的规律写出一个数学关系式. 这样的设问给学生的思考方向是显然的，学生根据自己的理解会写出第一个数列的关系式：an-an-1=2或者an-an+1=-2. 但是“后一项与前一项的差”这句话中an的前一项究竟指的是an-1还是an+1？教師此时的“教”就是当学生有困惑的时候给予指引，数列是从第一项开始，叫作首项，那么这里的“后一项与前一项”是对项数而言的，当项数为n时，它的前一项的项数是比n小的即n-1项，这样学生不难得出an-an-1=2这一关系式了.

如何让学生认识“从第2项起”呢？其实仅从上面的例子，学生是很难看出“从第2项起”的，看不出“从第2项起”就很难真正明白等差数列的定义. 在上面的例子中，如果增加一个例子：④1，3， 7，11，15，19，…. 这里教师“教”的意识就是让学生通过事例发现有跟前面例子不一样的情况，而这个不一样的情况自然能引起学生思考：什么样的数列才是等差数列？“每一项”如何理解？从而得出“从第2项起”这一重要前提，在关系式中如何体现“从第2项起”呢？学生通过思考，便得出an-an-1=2（n≥2）这个等式.

教师：根据①中的公差为2，②中的公差为-2，③中的公差是常数a，你能把这三个式子用一个等式表示吗？

学生：an-an-1=d，d为常数，且d为全体实数.

教师：请同学们根据自己的理解描述一下你心目中的等差数列.

这看是比较开放的问题，但学生的回答却事与愿违，一连几个同学的回答结果与教材的表述一模一样，“从第2项起，每一项与前一项的差为一个常数”. 为什么学生就不会用自己的理解来表述呢？这里主要是教师“教”的意识没到位，教师的设问没有提供给学生一个可以自己表述的思维方向，学生不知从哪些方面来描述. 既然不知道怎么去描述，那就干脆按照书本上的来描述. 在此，教师“教”的意识在于让学生明白从哪些方面入手，说什么内容. 其实定义的表述要说什么并不难，语文中要完整地描述一件事，就要从地点、人物、事件等方面来描述. 这里教师不妨借鉴语文的要求，首先说“地点”，即条件，在什么条件下;其次说“人物”，即数量，有几个数量，这些数量有什么要求;最后说“事件”，即关系，这些数量之间有什么关系. 这样学生便会去思考：在一个数列中，有两个数量，即数列中的两项，这两项有什么要求呢？必须是任意的，不能是特殊的，同时这两项必须是连续的. 发生了什么事？用项数大的项减去项数小的项结果都等于同一个常数. 有了这样“教”的意识，学生自然会用自己的语言去描述定义了. 这样的描述，也在学生心中对等差数列有了一个全新的认识，这就是对定义的“真”理解，“真”明白，真正理解了定义，应用就不难了. 比如，要证明一个数列是等差数列，学生会思考：只要找其中任意连续的两项作差，看其结果是不是一个常数.

2. 等差数列通项公式“教”的意识

公式的教学要让学生明白公式是怎么来的，公式长什么样子，公式有什么应用价值. 尤其是公式的推导过程，要让学生清楚是怎么想到的，为什么要这样想.

引入：既然等差数列的代数形式是an-an-1=d（d为常数，n≥2），如果已知a1，能否用a1和d把an表示出来？

怎么思考呢？教师“教”的意识就是要给学生一个思考方向：要用a1和d来表示，关系式中就应该要有a1，由已知关系式怎么才能出现a1呢？

由an-an-1=d有a2-a1=d和a3-a2=d，如何消除a2？学生自然会想到两式相加得a3-a1=2d，以此类推，便得an-a1=（n-1）d，所以便得到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d. 而由an-an-1=d得an=an-1+d，结合通项公式an=a1+（n-1）d，你能猜想an与前面任意项am（m∈N*，m

教师：如果把n看成自变量，an看成函数值f（n），你能得到什么样的函数关系？

学生：f（n）=a1+（n-1）d=dn+a1-d，即关于n的一次函数.

以上是对公式的出生和长相的认识，下面对公式的应用价值进行分析. 而这个公式的应用价值并不是公式本身，而是推导公式的思想方法，即叠加思想. 这里教师“教”的意识就应该体现在对学生思维模式的构建，如何用等差数列通项公式的推导方法去解决相关问题.

“已知数列中的某一项和连续两项的关系，求其中一项”，这是对该问题的一般描述，对此问题教师要如何“教”呢？这里可借用如下的思维导图. 有了思维导图，学生明确了思维的方向，对新课标提出的对等差数列通项公式的应用就能真正实现用叠加法的技巧解决数列的综合问题.