不忘初心，方得始终

侯卫婷

[摘  要] 共线向量定理由于其形式特征较为复杂和抽象，所解问题又具有典型性，使得教学常常陷入掌握套路就是掌握知识的误区，要解决这个问题，应该从知识的起点指导学生真正理解和使用共线向量定理.

[关键词] 共线向量定理;同构;斜坐标系

问题背景，为什么这是一根难啃的骨头

在高三一轮的复习中，我们常面临这样的困境：学生中死记硬背、生搬硬套的多. 在实际的课前调查中，约三分之一的学生能说出形式特征中的“和为1”“终点共线”，其他绝大多数学生只能在给出结论后表示“有印象，学过的”，个别学生“毫无印象”. 在问题解决中，约一半的学生能利用这个定理解决与之相关的简单问题，没有学生能利用它解决中等难度问题. 问其原因，主要有“不理解这个结论到底想干什么”“无法在题目中找到使用该结论的条件”这两个答案. 翻阅学生高二的笔记，典型题记录得标标准准，学习内容却忘得干干净净. 让其回顾当时怎么做出来的，答曰：老师教的时候会. 这个“会”，我们只能理解为当时掌握了套路，也就是会熟练地模仿而已.

遗忘率高. 这里的遗忘不仅是从高二到高三的遗忘，根据笔者以往的教学经验以及与同事的交流，即使在高三教学后，经过一段时间也有一些学生会彻底遗忘这个知识点. 例如，在高三的周考、月考中，只要考前没有进行过针对性的重复，此类问题的正确率总是不尽如人意.

为什么会出现这样的现象？有几点是笔者和同事的共识.

首先，这是平面向量这一章中第一个较长的结论，与前面的向量知识难度不一致，学生还没有做好心理上和思维上的准备. 换言之，此时此论还不在学生的最近发展区. 在这个定理之前，学生学习的向量知识有：向量的定义、加法、减法和数乘. 这些知识，类比物理中的矢量，学生是能够较快完成知识网络的构建的，但从“向量共线”到“λ+μ=1”，学生无法通过感性具体上升到理性具体，也就无法将它纳入知识体系之中. 并且它对于数形结合和抽象思维的要求较高. 这个知识中出现了三个向量（两定一动）和一条直线，还要将有向线段与其终点“割裂”开来，并转移到直线视角，几何要素多，此为一难;将图形用一个向量表达式推导和表示出来，此为二难;将点在直线上运动抽象为一个等式，如果没有解析几何背景很难实现建构，此为三难.

其次，从学生的角度，所解问题有典型性和套路性，误导了学生的思维趋向，以为套路就是方法，故而不求甚解的情绪明显. 从教师的角度，笔者所在地区使用的是苏教版教材，教学顺序是必修1、必修4、必修5、必修2，必修3. 此时学生的解析几何基础还停留在初中的水平上，无法给出更好的解释，而教参在这里给出的课时也很有限，客观上只能走马观花. 学生虽然懵懵懂懂，但是模仿能力却是一流的，再加上此时能做的题目有限，问题形式特点又很明显，搞出答案并不困难. 能搞出答案，师生间都松了一口气，认为这就足够了.

聚焦改变，基于起点知识的探究性教学实录

高三时，学生已经拥有了相关的解析几何的知识和向量的知识，尤其是平面向量的坐标表示，实现了解析几何与向量的互联互通. 事实上，解析几何再往前走一步就是向量几何，我们的教学，只需要帮助学生厘清两者在底层上的同构，就能让学生在该知识点的理解和运用上实现质的飞跃.

教学实录：

生：点C是AB的中点.

師：正确. 这与我们刚才复习的结论是一致的，点C在直线AB上，而且特殊的，点C还是线段AB的中点，所以这也是平面向量中的中点公式. 那么当点C是AB上近A的三等分点时，λ，μ各是多少？

探究之后，学生可以给出答案：靠近A的四等分点.

师：这里的λ还可以取哪些数？

至此，才真正完成了这个知识点的讲解，或者说是对高二的一次补课. 但如果只到这里，所实现的无非是从感性具体到理性具体的教学，它并没有回答下面的问题：它的价值取向到底是什么呢？

学生研究过后能给出正确答案. 教师追问三个式子有没有相关性时，个别学生提出了“系数之和总为2”.

师：如果将它总结为λ+μ=2，同学们可以类比刚才的结论，猜测它的几何特征吗？

生：A′，B′，C′三点共线.

师：我们能把1变成2，还能变成几呢，这种变化对应的结论又是什么呢？

学生从3，4开始，渐渐有学生说到了“一切正数”. 教师追问：比如“π”？

师：这个a有什么要求吗？

生：正数即可.

但下面也有学生说负数也行. 接着教师让学生自行探究负数的情况，顺便也提出了“0”行不行的问题，学生均给出了完整解答.

师：从一个特殊结论出发，我们发现，只要让结论中的“1”动起来，就能把这个特殊的结论一般化. 那么，当这个a取不同的数字时，所对应的直线之间是什么位置关系呢？

生：平行关系.

师：也就是说，这个结论在几何上可以用一组基底来刻画平行直线系. 我们在解析几何中是学过平行直线系的，例如，x+y=a，那么两者之间是一致的吗？

学生意见主要有：“一样，就是把x换成λ，y换成μ”“不一样，基底不是坐标系”.

一个学生给出了如下意见：我认为是一样的，因为老师讲过，平面直角坐标系就是一组特殊的基底，可以把两条坐标轴看作是互相垂直的一组单位向量. 也就是说，今天的结论是我们在解析几何中学的平行直线系的更一般情况.

这个说法获得了所有人的赞同，于是，教师追问：在直角坐标系下，我们能写出无限多条直线，比如x+2y=3，在基底背景下，我们能找到λ+2μ=3所对应的直线吗？

经过一番讨论，有一位同学给出了这样的解释：“类比坐标系，我先画出x+2y=3，那么我只要认为这个夹角不是直角，模长不是1不就行了吗. ”

师：这个类比非常棒. x+2y=a呢，怎么画？

生：平移，这是平行直线系.

师：那么类比这个探索过程，你还能画出哪些直线呢？

经过了这一段的思考，学生的思维一下子打开了，有罗列具体直线的，也有直接指向直线的一般形式的.

教师趁热打铁：aλ+bμ=c所对应的直线. 由于“字母太多”，部分学生还是耗费了一段时间. 但最终都能给出结论：其操作特征与上面完全一致，只是“由特殊变成了一般”.

师：同学们，我们今天在基底背景下研究的aλ+bμ=c，与解析几何背景下研究的ax+by=c，有着非常明确的对应关系. 我们刚才也提到过，之所以会有这样的结果，是因为可以把平面直角坐标系看作是一组特殊的基底. 那么反过来，可不可以把一组基底看作是更一般的坐标系呢？我们把这樣的坐标系称作斜坐标系. 所以，今天复习的这个结论，其基本功能是什么呢？

生：用来在斜坐标系中求直线方程.

师：这个说法不够准确，是给直线方程让你画出来吧. 不过这是一个好问题，例如，在直角系中两点确定一条直线，那么在基底下一定也有类似的结构，这就需要大家课后研究了. 但毫无疑问的是，因为平面直角坐标系是斜坐标系的一种特殊情况，那么两者的操作必然对应，也就是要遵循从特殊到一般的思维方式.

教后反思，通往核心素养的必由之路

为什么进行这个拓展？有三个理由. 一是它符合学生的最近发展区. 回顾解析几何的构建过程，在建立直角坐标系后，按照难易程度依次研究了点、直线和曲线. 类比这个过程，在向量中首先学习了向量的表示，接着研究向量运动的规律，也就是有向线段终点的运动轨迹，自然是先直线运动，再曲线运动. 这是学生“跳一跳就能够得到的”. 二是向量几何作为现代化的数学工具，其价值不可估量. 不论是其知识内涵，还是其思维模式，都是“实现现代社会中人的发展的必备要素”，自然也就暗合了核心素养的要求. 三是解析几何和平面向量都是高考的重点考查内容，不应该在知识上出现盲区和暗坑.

应试教育之所以有市场，根本原因在于师生的趋利性，如果应试教育是不利的，那么无需外界的鼓与呼，教育内部自然会做出改变. 例如，现在的高考，其导向性已经非常明显地偏向于对知识的深度理解和灵活运动，这就倒逼了一线教师的改变. 笔者本身在教学实践中所产生的改变就很好地说明了这一点：功利性不仅无功，反而有过. 我们的教学，就应该正本清源，理解数学，改善教学，发展学生.

从数学的角度：什么是数学？数学是研究数量及数量关系，图形和图形关系的一门科学. 进一步的，还有这样的观点：数学是研究模式的科学. 无论哪一种，都表明了数学内部必须是逻辑一致的. 历史上，笛卡尔基于这个理念发现了解析几何，费马大定理也最终由此得到证明. 从HPM的角度，我们完全可以从笛卡尔一直贯穿到黎曼几何来理解坐标系的本质与作用. 理解数学，就是从逻辑一致这个基点出发，探寻知识发生发展和变化变异的脉络，厘清同构知识的谱系分布，才能在教学中找到那一段区域，无论如何，将知识在课堂上以静态的点状呈现都是不合理的.

从教学的角度，陶行知说过：“千教万教，教人求真.” 数学教学，要教真，更要教求真. 求真是一个过程，是一种活动，是一个可以被训练而习得的技能（当然广义上它还是素养和信念）. 要实现这一点，教师要在理解数学的基础上，不断改善自己的教学，营造问题情景，帮助学生，指导学生，用自己的智慧性劳动期待和鼓舞学生的成功. 要在这个高度理解教学的内涵，然后再来拓展专业技术能力.

从学生的角度，数学新课改的目标是让学生用数学的眼光看问题，用数学的思维想问题，用数学的语言讲问题，也就是核心素养的三个层面：抽象，逻辑，建模. 本课中用具体数据的提炼让学生经历从1到a的抽象，用直角坐标到斜坐标的变化让学生进行逻辑推理，用推理的结果解释一般式的刻画来体验模式化（按照史宁中教授的观点，这只能叫模式，还不能叫建模），无一不是对核心素养的一次尝试.