水涨船高：高中数学知识建构与核心素养培育的正确隐喻

杨小辉

[摘  要] 高中数学教学中，核心素养的培育不是空洞的，是要依据知识建构来进行的. 认识两者的关系，可以借助于“水涨船高”这一概念来形成通俗的理解. 双曲线性质的教学中，通过基于学生认知规律的探究过程的优化，可以让学生更充分地运用逻辑推理、试错等方式，形成更完整的双曲线模型，从而实现相关数学学科核心素养的培育.

[关键词] 高中数学;知识建构;核心素养

在核心素养作为上位概念的背景下，研究高中数学学科核心素养的培育，需要从其六个方面来进行思考，这六个方面即为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析，按照史宁中教授的观点，这六个方面是可以归纳为三个方面的，即数学抽象、逻辑推理、数学建模. 史教授之所以这样认定，是因为其认为数学学科核心素养主要就表现为会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界等三个方面. 如果采纳史教授的观点，可以肯定的是数学抽象、逻辑推理与数学建模都与具体的数学知识构建有着密切的关系，正因为如此，有研究者指出，高中数学教学中的知识建构与核心素养培育并非对立的关系，而是前者支撑后者的关系. 基于这样的理解，“水涨船高”就成为两者关系的最佳隐喻.

核心素养培育背景下知识建构过程的优化

传统数学知识的教学注重的是知识之间的逻辑关系，这原本是符合数学知识发展需要的，但是数学知识的学习主体是学生，也就是说知识是由学生通过主动建构活动而构建出来的，因此只有面向学习主体去设计教学，才能实现学生核心素养的培育. 故而知识建构过程的优化，必然是核心素养培育的基础.

例如，在“双曲线的几何性质”这一内容的教学中，对于双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质的学习，可以对以往的教学思路进行优化，即不是依次去讲授这些性质，而是让学生根据自身的解题经验与对双曲线的理解，在探究的过程中逐一明确这些性质. 这样的设计意味着要对两个方面做出优化：一是学习的情境. 既然是让学生自由探究，那就必须给学生一个蕴含了双曲线所有性质的情境，这样学生才有可能在知识构建的“水”中荡漾核心素养之“船”. 二是探究的过程. 将双曲线的性质得出过程由逐个讲授变成整体探究，意味着不同学生的思路并不完全一致，因而整个知识建构的过程可以采取开放思路，先让学生分别探究，最后教师引导学生进行总结，这样得出的双曲线的性质学生更容易掌握，而其中学生处于主动建构状态，因而数学抽象过程更清晰，逻辑推理过程更严谨，所得到的双曲线的性质能够更好地完善学生大脑中的双曲线模型.

我们看学生的知识建构过程实际上是有多个视角的，在应试的视角下，教师更关注的是学生对知识的掌握与运用情况，对于知识发生过程本身的关注往往不够，这是正常的，因为应试所需要的本身就是知识运用的能力，而不是在知识构建过程中生成的能力. 我们批判应试教育的原因也正在于其只重视知识的运用（解题），而忽视了知识生成过程中学生是可以获得好多能力的，这些能力对于学生的社会发展与终身发展而言，往往更有意义，而这些又恰恰是核心素养所关注的，因此从核心素养的视角看知识的构建，对于学生的发展来说确实更有现实意义和长远意义.

实践经验表明，除了数学探究之外，问题解决等策略，也能够丰富数学知识建构的过程，从而让学生的数学核心素养真正得到培育.

丰富数学知识建构过程实现核心素养培育

基于上述分析，在“双曲线的几何性质”的探究教学中，笔者的具体设计是这样的：

（如果学生理解还有困难，则可以结合前面椭圆的学习进行类比，以让学生进一步明确探究的方向.）该问题还可以细化为这样的几个问题链：如果将双曲线方程中的x换成-x，将y换成-y，那所得到的双曲线是否会有变化？如果研究双曲线的标准方程中的y值，那根据对x值的研究，可以发现双曲线的什么性质？……

其次，开展自主探究. 进入全面探究之后，学生的探究过程成为核心素养培育能否实现的关键. 笔者采用的策略就是面上放手、过程掌握，即任由学生从双曲线的定义出发并在问题的驱动之下去探究、发现，而教师根据学生的发现去控制探究的方向. 如探究的过程中遇到这样的一个情况：一组学生在探究渐近线的时候，然后判断点M右移过程中PM长度的变化，進而通过较为复杂的逻辑推理，以发现PM的长度实际上是趋近于0的. 这样就完成对渐近线的探究.

最后，明确核心素养主线. 探究完成之后，跟学生一起反思探究过程，并体验其中运用到的方法，是非常重要的. 总结上述探究过程，跟学生强调逻辑推

理在其中的作用，强调试错、分析、归纳等的作用，可以让学生认识到它们在双曲线几何性质探究中的价值，而这样的认识以及能力形成，实际上就是核心素养的培育.

如同上面所分析的一样，知识的发生过程对于核心素养的培育来说有着积极意义. 这种意义体现在数学探究的过程中，就是通过学生的探究不断深入，让学生在探究的过程中一步步地将原本难以发现的东西寻找出来，这样的过程如同摸着石头过河，而过河的意义不仅仅在于蹚过河去，更在于过河的过程中经过无数次摸石头而知道了石头的规律与河的奥秘，这样就可以让学生在其他场合下，在其他需要摸着新的石头过新河的时候，前面形成的能力能够迁移过来. 这就是水落石出对于数学学科核心素养培育的重要隐喻的意义所在.

合理的教学关系隐喻促进数学教学的发展

对于一线教师而言，需要的往往不是深奥的理论而是浅显易懂的比喻. “水涨船高”源于生活，将知识建构与核心素养分别比作水与船，很好地说明了核心素养的培育离不开知识建构，只有知识建构的过程更加科学合理，核心素养的培育才更容易成为可能.

上述双曲线几何性质的探究过程中，由于将线型的讲授式教学过程改成开放型的探究过程，因而知识建构过程的“水”就托起了核心素养培育的“船”，而建构过程的优化显然就是“水涨”，学生在其中获得的对逻辑推理、对双曲线模型的更为深刻的认识即对应着“船高”，于是水涨船高的逻辑就体现在该过程当中.

将教学关系置于核心素养的背景下，笔者以为合理的教学关系就是可以用水落石出来隐喻的，教学教学，其实就是教学生学. 更进一步讲，是教学生怎么学. 那怎么学才能生成学科核心素养呢？有时候理解这层关系并不容易，因为教师更多的是知道怎么教学生能够掌握知识，生成解题能力. 核心素养就不同了，核心素养是指向能力的，能力是在知识构建的过程中慢慢生成的. 需要注意的是，这里强调的是慢慢生成，并不是说在一个知识的学习过程中就可以明显生成能力，比如说数学抽象，不是给学生一个抽象的例子就能生成数学抽象的能力. 更多的是多次重复之后，这种能力才会慢慢形成. 同理，水落石出的规律往往并不是一次就能看懂的，只有多次观察、体验之后，才能发现其中的规律. 从这个角度讲，水落石出确实是一个很好的隐喻，其可以较好地归纳、描述核心素养的培育规律，同时这个隐喻也提醒我们，在数学学科核心素养培育的过程中，教师要等水落之后才能看到石出的过程，没有这种静心，过于期待石出，是没有意义的.

总的来说，高中数学教学中，核心素养的培育不能脱离知识建构，但在传统知识建构不能有效地支撑起学科核心素养培育，不能为核心素养培育拓展空间的情况下，建构过程的优化就显得十分重要. 其实归根结底，所谓建构过程的优化，就是基于学生的认知规律去进行，知道了这一点，知识建构过程的优化就是有源之水，核心素养的培育空间也就更加宽阔了.