高中数学：知识与素养的关系再思考

陈益龙

[摘  要] 核心素养的背景下需要思考一个基本问题：知识与素养是什么样的关系？对于高中数学而言，知识与素养是密不可分的，是融为一体的;在数学知识教学的过程中进行数学学科核心素养培育是必然的途径. 核心素养的形成主体是学生，其需要一个“悟”的过程，教师不可急于求成，而应当努力赋予学生知识生成的情境，以让核心素养能够慢慢养成.

[关键词] 高中数学;知识;素养;核心素养

核心素养背景下，对于核心素养的讨论集中于三个基本问题：一是核心素养是什么？二是核心素养的培育途径如何？三是核心素养与传统的知识教育有着什么样的关系？对于第一个问题，当前公认的答案是“核心素养是学生应具备的能够适应社会发展与终身发展的必备品格与关键能力”;对于第二个问题，目前的答案并不唯一，不同学者基于自己的观点给出了不同的答案，而由于国家层面并没有对此给出统一标准，因此对该问题的探究目前呈现出了百家争鸣的状态;作为一线教师，其实最关注的是第三个问题，因为在传统教学中，教师都在进行知识的教学，当面对核心素养培育要求时，原先的知识教学应当以什么样的形态存在，是不是要摒弃已有的传统去实施核心素养的教育……此类问题只有得到一个梳理与澄清，才能真正让教师基于已有的教学认知，顺利走向核心素养及其培育的大道. 对此，笔者结合高中数学教学，进行了初步思考.

知识之于素养，犹如盐在汤中

近数十年的教育教学改革表明，无论改革的初衷如何，到了基层的理解与实践当中，都难免出现二元对立的情形，其中尤以以前的知识与能力，当下的知识与素养的关系判断为甚. 经历了课程改革的老师都知道，课改之初知识与能力的对立曾经引发了大量的讨论甚至是争论，迄今对于知识与能力的辩证依存关系已经得到了相当程度的认可，而当核心素养出现之后，一度也有素养优于知识的认识，因此笔者以为有必要对此问题进行正本清源.

知识取向之所以为众人“喊打”，一个重要的原因就是应试教育，应试让能力生长完全被压制. 但必须看到的是，离开了知识，能力的生长也是无从谈起的. 在中国的历史中，曾经有着对“知识就是力量”的尊崇，其实，力量不只是知识本身，因为知识生成过程中是有力量得以生长的，这个力量就是曾经的能力，就是当下的素养.

就高中数学学科而言，素养隐藏在知识的哪里？这个问题的回答有助于教师在教学的时候能够更好地发现素养的存在，然后实施核心素养的培育. 诚然，当前对高中数学学科核心素养的界定是从数学抽象、逻辑推理、数学建模，以及数学运算、直观想象与数据分析等角度进行的，这种从核心素养上位概念到数学学科核心素养下位概念的过渡，使得教师对数学学科核心素养的理解更为直接，但具体到数学知识当中，还是会存在一些理解上的困难的.

比如说“双曲线”这一知识的分析，其作为圆锥曲线中的一个重要曲线，通常是在椭圆的学习之后进行的，因此这里就必然存在着一个由椭圆向双曲线进行推理的过程，于是逻辑推理的素养蕴含其中;由于双曲线是一个相对抽象的知识，因此学生对双曲线表象的构建并不适宜采用直接呈现的方式，于是教师举出生活中的实例则是必要的，也因此数学抽象的过程也就出现了;双曲线的标准方程与几何性质的学习，使得学生对双曲线的认识变得丰满、完整，且能让学生有效运用，因而双曲线实际上就具有了数学模型的价值.

在这样的解析中有一个隐性的知识观，其必须从隐性走向显性，才能让教师对知识有一个正确的认识：知识并不只是以语言、符号、图像的形式出现的，那只是知识的一种表现形式;就拿数学学科来说，真正的数学知识在师生心目当中应当是能够描述事物特征、体现事物逻辑的存在，譬如“双曲线”知识，那是广州电视塔“小蛮腰”的美丽，那是电厂冷却塔的力量，只有建立这样的知识观，双曲线在师生心目当中才不是抽象图形的存在，学生才会获得研究双曲线的动力. 这样的知识理解是必要的，正如有学者所举例的：環保意识是一种素养，但只有知道了垃圾分类的知识，才谈得上真正的环保素养. 从这个角度讲，高中数学知识更多地赋予生活尤其是学生生活相关的“生命”，知识才真正成为知识.

因此，知识与素养的关系并不是对立的，而是融为一体的，如果说知识是汤，那素养就是盐，只有盐在汤中，那知识学习才是一个完整且有意义的过程.

核心素养培育，立足知识基础

基于上述逻辑，显然核心素养的培育要立足于知识教学的基础之上. 相对于传统教学而言，这样的思路意味着当下的教学需要一个新的指向，也就是说知识教学仍然是必要的，但知识教学的目标需要重新校准：知识学习不再只是为了应试，而应当是立足于学生必备品格与关键能力的养成，是数学学科教学中数学抽象、逻辑推理与数学建模能力的形成.

在上述的“双曲线”例子中，已经说明了双曲线知识主要包括双曲线标准方程及其几何性质两个，基于核心素养培育目标的教学，本课或可以这样设计：

首先，双曲线标准方程的推导. 根据圆锥曲线这一章引入时所用的“用平面截圆锥面”的素材，根据学生在椭圆知识教学中获得的推导标准方程的知识，学生这里会自然地利用彼时获得的知识，来将“焦距为2c，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2a（c>a>0）”的条件，演绎为以两个焦点的连线为x轴，以两个焦点的垂直平分线为y轴建立坐标系，然后根据双曲线的定义去推导得出双曲线的标准方程. 这是一个逻辑推理的过程，逻辑推理是数学学科核心素养的体现，所运用的知识包括双曲线定义、平面直角坐标系、因式分解、化解等. 此过程中，双曲线标准方程经由逻辑推理得出，而逻辑推理能力则在逻辑寻找与推理的过程中得到加强.

其次，双曲线作为一种典型圆锥曲线. 推导双曲线标准方程的过程还是比较抽象的，高中学生常常会思考双曲线在生活当中具有什么样的应用，而这也是将数学知识植根于学生生活的重要契机. 纯粹的双曲线在生活中并不常见，但以y轴为轴，转动双曲线得到的双曲面却不罕见. 此时可以让学生遵循此思路进行思考、寻找，学生有可能会在自己的生活表象中寻找到电厂冷却塔等例子，教师可简要向学生介绍这样设计的必要性;然后再从美的角度向学生重点介绍广州电视塔，并辅以美丽的夜景图片或视频，那么学生领略到的就是一个生动且富有生命活力的双曲线. 这个时候告诉学生，其就是根据客观条件设计双曲线的参数，然后根据参数制成的. 这个过程不需要太长的时间，但意义却是明显的：再抽象的数学知识在生活中总会有应用，正如今天的经济发展模型……而这正是核心素养所强调的学科知识在生活中的运用以及学科融合等的体现.

再次，双曲线几何性质的探究. 传统教学中，包括双曲线在内的圆锥曲线几何性质，几乎都是由标准方程推理得出的，固然这里有逻辑推理的素养存在，但由于缺乏了情境支撑，学生难免感觉抽象. 其实这里可以给学生一个情境：如果你是广州小蛮腰的设计师，给你一个空间范围，你如何设计出符合要求的电视塔出来呢？学生自然要想双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等，即使在此过程中学生的思维偶然遇阻，教师仍然可以利用传统教学思路中的设计去化解困难，但有了这个情境，学生的推理就不是那么抽象了，而是有了任务驱动与情感辅助了.

核心素养培育，侧重“悟”的过程

其实，我们解析知识与素养的关系，我们强调素养的培育必须在知识教学的过程中进行，只是在强调知识与能力、素养密不可分. 这里其实还有另一个需要强调的地方，那就是核心素养的培育本质上是一个需要等待的过程.

等待意味着什么？意味着核心素养对于学生来说是需要“悟”的，“悟”有两种情形：一种情形是渐悟，一种情形是顿悟，无论是哪种悟，都是需要时间的，这意味着在一节课的教学目标中确定核心素养的培育可能是不恰当的. 史宁中教授对核心素养需要“悟”出来曾经给予了强调，他说，“学生素养的形成和发展，在本质上不是靠教师‘教出来的，而是靠学生‘悟出来的”. 这样的判断实际上是一种主体转换，这也符合核心素养的本质，因为核心素养原本就是“学生应具备的”，也说明核心素养的培育并非一蹴而就的，其需要通过知识的教学，让学生一直存在于核心素养培育的情境当中，慢慢积累，等待嬗变.

总之，高中数学教学中，需要梳理好知识与素养的关系，只有这样才能为核心素养的培育寻找到一条有益的途径，才能让一线教师对核心素养、数学学科核心素养以及培育有一个合乎教学实际的理解.