核心素养的视角：一堂本该上得生动活泼的数学课

孙福明

【摘 要】逻辑推理是数学核心素养之一，是数学课程的标志性思维特点。提升逻辑推理的核心素养需要将学生置于课堂活动主体地位，通过丰富、生动的活动，让学生在问题驱动的思维场域得到有效锻炼。教师的理念和专业素养是提高学生素养的必备条件之一。

【关键词】逻辑推理；核心素养；数学思维

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）25-0019-03

数学是严肃的，主要是因为其抽象化的特点。从表达形式来说，数学具有符号化、形式化的特征。例如，数学概念需要抽象化概括，数学规律要求形式化的表达。从其内容来说，数学结论的正确性需要证明，证明必须符合抽象的逻辑推理，而演绎推理正是数学的标志性思维，体现了数学思维的严谨、严密特征。但数学又是生动活泼、平易近人的。正如波利亚所说：数学有两个侧面，一方面是欧几里得的严谨，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来像是一门试验性的归纳科学。数学的产生之初常来源于对具体问题的研究，在此基础上通过归纳、类比等合情推理去发现对象的一般规律，进而借助于逻辑推理建构数学课程的体系。

逻辑推理是高中阶段数学核心素养的6个维度之一。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。高中阶段培养学生逻辑推理核心素养的途径有一暗一明两条线，暗线意指两类推理素养蕴含在数学一般性的知识之中，通过各类知识的教学，渗透逻辑推理的素养。例如，各类概念、定理法则的学习，就包含着非常丰富的归纳、类比等这类核心素养，平面几何的证明部分的学习就是演绎推理素养的习得过程。所谓明线，就现行教材而言，就是《推理与证明》这部分内容。教材设置该部分的目的是希望学生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明等数学思维过程，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，发展学生的数学思维能力，进而形成理性思维和科学精神，而这些都是数学核心素养的综合体现。

那么，怎样设计这部分内容才能更好地体现核心素养的达成目标呢？要完成核心素养理念支撑下的育人目标，教师又该对自己提出什么样的要求呢？笔者以近期参与的“合情推理”为内容的同题异构教研活动为例，谈一些个人浅见，以期达到抛砖引玉之效果。

一、 基本情况

1. 三位执教教师

三位执教教师分别简称为教师甲（工作10年）、教师乙（工作14年）、教师丙（工作5年）。

2. 班级

城区重点中学，生源状况较好，学生基础扎实、学习能力等都比较强。

3. 教材

江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教材》。

二、教学目标的定位折射教师的理念

教学目标对课堂教学的核心引领和主线导引显然是至关重要的，它不仅决定着教学显性目标的达成度，更决定着学生核心素养的达成度，决定着教学质量的品质，也直接决定着这位教师采取何种教学策略、教学方法来组织和实施教学。

比较三节课，三位教师最大的“异构”就是课堂教学目标的理解认识和定位。教师丙定位于教学过程中通过互动的教学方式让学生逐步感悟知识的发生发展过程，让学生在材料呈现后有更多的时间和空间的感悟和体验。教师乙定位于方法熏陶，采用以问题为情境、总结方法收尾的归纳式教学方法，着眼于学生能亦步亦趋地掌握一些归纳的程序。教师甲则明显定位于知识的传授，大容量、快节奏、高頻率的讲授，以大量文字语言的形式进行短、平、快的“速溶”式“灌输”，把该课演变为“如何进行归纳推理”的习题训练课。

三节课值得注意的一个现象是：教师的年龄越大，讲得越多，课堂控制度越强，给学生的自主空间更少，相反，年轻教师把教学过程展开得很充分，而年龄居中的教师，随着教学经验的丰富，有过度“包装知识”和“精细讲解”的迹象。

“合情推理”一节内容从课标定位及课题内容特点的角度分析，是可以发挥学生自由想象，让学生的主体得到充分张扬，让学生的思维得到熏陶和数学文化浸润的一节课。所以，本节课应该定位于以具体案例为载体，以学生主体性活动为主，在教师适时、适度的点拨下，逐步培养学生的归纳能力和核心素养。所以，细细品味本节课的目标，可以有四个层面：第一个层面是把归纳推理作为一种概念，就是要弄清什么叫归纳推理。从这个层面上，本节课的核心就是引导学生“从理性上认识归纳推理”，具体地说，就是使学生了解归纳推理的含义（即什么是归纳推理）、归纳推理的思维过程（即初步了解怎样进行归纳推理，但不是具体的操作性的技能）、归纳推理的特点（即思维形式、结论的或然性及科学发现活动中的创造性），其中最为重要的是归纳推理概念的形成过程。当然，这个概念与一般数学概念是有差别的，它是一种描述性的定义，描述的是思维的动态过程，不同于一般数学概念的静态表现形式，也缺少一般数学概念的严谨与精细；第二个层面就是把归纳推理看作一种方法，是一种程序性的知识，掌握归纳的步骤是什么，如第一步、第二步、第三步等每一步的做法分别是什么；第三个层面把归纳推理看作一种态度，一种探究事物规律的态度。面对纷繁复杂的自然、社会，自然产生探索的欲望，看到一种现象，就想要找到规律。这其实也是数学的教育价值的体现之一，用数学的眼光观察世界，剥离事物的具体形态和属性，从中归纳出一般性的本质属性；第四个层面就是作为一种数学的核心素养，进一步提高归纳推理的能力。归纳能力的关键是分析的能力，是思维的能力。归纳的结论是否符合事物的本质需要学生有较强的综合能力和核心素养，能力需要在问题解决中逐步培养，更需要在素养的浸润中顺利达成。

要达到上述四个层面的认识层次，教师需要不断提高个人的教学理念和专业功底，教师的教学素养直接关系到学生核心素养的达成度。从数学课程的角度，教师应该认识到合情推理有助于学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，数学不单是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识，形成正确的数学课程观和价值观。

三、教学法的运用反映教师的智慧

1. 延展过程，锤炼思维

纵观三位教师的教学过程，基本都是采用从特殊到一般的归纳方法，但是归纳过程的重点不一样。教师丙堆积了大量的例子，然后直接“飞跃”给出了一般模式，教师甲则给出了3个例子后就给出了一般模式，然后就是各种题材的练习。相比较而言，教师乙注意到学生的认知特点，采用了特殊到一般再到特殊的螺旋式上升的教学步骤，具体过程是：教师呈现一些具体实例，让学生初步感知归纳推理的过程，特别是结构上的特点，然后再让学生模仿举出若干例子，在例子基础上，生生、师生互动，让学生从过程和结构上与教师已经举出的例子进行比较，判断哪些例子是正确的，哪些是不恰当的，不正确的原因和环节是什么。此环节的目的是加深学生感性认识，进一步强化学生的认识的层次。接下来，教师引导学生开始归纳模式，在精心设计板书——按照相同的结构进行板书的基础上，引导学生从特殊到一般进行抽象归纳。这一步是整个教学环节中最重要的一环，是培养学生核心素养的最关键之处。因此，要突出抽象与概括的思维过程，主要是符号化和结构化，最后归纳总结出下面的归纳推理的一般思维模式：

模式1：

模式2：

应该说这样的设计才使得从“特殊到一般”的概念化可能得到真正的建构，学生经过这个过程的孕育，抽象概括的核心素养才得到很好的培养，学生的抽象概括能力、建立数学结构的能力才能得到提高。新課程提倡展开教学过程，这个过程指的是能提升学生思维能力、核心素养的过程，而不是无意义的、与实施课程价值无关的“伪探究”“伪活动”的过程。

2. 问题驱动，学生主体

思维能力是需要逐步形成的，能力需要在有一定难度的情境中培养，所以数学教学应该更多的是过程教学、是学生活动参与式的渐进过程。纵观三节课，有效设计、组织学生活动的精彩之处少得可怜，即使有活动，也是蜻蜓点水，一蹴而至，根本谈不上深度与广度。主要表现在引发活动的问题设计上，教师提出的问题空洞而泛泛，学生根本无法回答。问题指向性不明，问题关联性不强，问题层次不强是突出的问题。

教师在完成了教学的专业知识储备之后，接下来要做的是如何设计问题链引导学生进入探究的世界和轨道。例如，本节课应该从本源性问题“为什么要学归纳推理”开始，让学生感受其实“归纳无所不在”，自然思考“如何进行正确的归纳推理”“归纳推理的基本模式或者规律是什么”“如何发挥归纳推理的价值”等逻辑相关的问题，学生思维在这样的问题链的思考解决过程中得到深度上的提高、品质上的提升。

其实，根据教学目标的分析，本节课型应该定位于数学方法的课型，重在数学方法的熏陶，用归纳推理的方法讲归纳推理。因此，教学方法与知识传授型的课堂应大不同，可以把课上得更加趣味些、生动些和活泼些。通过精心组织、呈现材料，让课堂有更大的开放性，思维具有广泛的动态性，学生有更广阔的参与性，师生、生生之间可有更多的碰撞和交流。

四、超越知识，彰显素养

1. 材料的加工反映教师的学科专业化程度

教学材料的组织要为教学目标服务，材料既要“够味”——体现本节课的主题和重点，又要“色形俱佳”——适合学生的认知特点，“有山有水”，形式多样。不管是采用集中呈现社会生活中的的方式，还是采用对比呈现材料的方式，其目的都在于让学生体验蕴含在日常推理中的常见思维模式和思维过程。对教学材料没有琢磨透彻、对教学材料的功能没有挖掘到位、对材料缺乏精心设计是三节课的普遍问题，现象之一就是大量提供了生活及数学中的实例，但量的增加并没有引起质的变化——学生对归纳推理的概念感受不强烈，感受不充分，有一种浮于材料表面、对概念本质隔靴搔痒的感觉。例如，很多实例脱离学生日常生活实际，无形当中增加了学生建立模型的障碍。有的例子不相干的信息太多，喧宾夺主，冲淡了归纳推理的模型，尤其甲教师和丙教师显然驾驭组织材料的方式稍显简单，材料与数学概念的抽象过程融合得还不够，显得油水分离。教师乙之所以能把教学组织得有章有法、抑扬顿挫，就是因为他把教学目标和学生学习心理特点紧密结合起来，在培养学生数学核心素养的教学理念指导下，既让学生成为思维的主体，在问题解决中提高核心素养，又适时引导，居高临下地点拨，引领学生思维往高处发展。因此，要落实好核心素养的教学目标，教师应该不断提升学科专业素养和教学法素养，要让教师的教学素养为学生的核心素养服务。

2. 形式化的过程与结果的关系

只要人在思维，那么推理就如影相随。但一直存在不代表学生能真切感受到。所以，本节内容的教学目标之一就是“结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理的含义”，具体就是“识别”与“初步学会”，这就要求教师在大量感性案例的基础上，把蕴含在实例中的一般合情推理的基本类型和每一种类型的基本模式“显化”，让学生能从数学的角度更清晰地认识和理解合情推理这种思维过程的脉搏。

但显化是否一定要高度抽象到一般模式，然后如何认识这个一般思维模式，又是一个课题。个别教师把这个思维模式作为知识、结论讲给学生，让学生记忆，似乎这样这一节课的目标才算完成。如果按照这位教师的思路，这样把思维模式传授下去后，学生的归纳能力水平能有所提高的话，似乎也无可非议。但遗憾的是，如果学生把这个思维模式作为一把“尺”，去对生活或数学中的实例进行“测量”——归纳的话，显然是行不通的。因此，教学过程需要适度形式化，形式化的过程是提高学生思维能力和培养学生核心素养的重要途径，让学生成为形式化过程的主体，一旦学生有能力完成归纳推理形式化的任务，那么教学的目标就已经达到了，至于最后形式化的结果只是个次要产品，是知识固化的形态。

就形式而言，数学是演绎性的科学。但数学结论和数学证明思路的发现过程等主要靠合情推理，即观察、实验、归纳、猜想等。因此，从数学发现过程以及数学研究方法的角度看，数学与自然科学一样，又是归纳的科学。归纳中充满发现的乐趣，充满了多样化的思维形态，这样的多样化是学生丰富个体的体现，这样的过程是培养学生核心素养的重要途径。所以，数学课不必都那么严肃，可以让学生的思维活起来，让培养学生核心素养的步伐更扎实一些！

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 普通高中数学课程标准（征求意见稿）[M].北京：普通高中课程标准修订组，2016.

[3] 韩立福.当代国际教育理论基础导读[M].北京：首都师范大学出版社，2006.

[4] 石志群.“归纳推理”赛课活动的反思、建议与教学设计[J].陕西：中学数学教学参考月刊，2009，（8）：2-5.

（编辑：张 婕）