数形结合思想在高中数学教学中的渗透研究

柯明欣

[摘 要] 新课程标准推出以来，很多高中数学教师开始对教学模式创新变革进行反思. 其中，数形结合思想作為一种数学教学的基本思路，可实现抽象概念图形化和几何图形公式化的目标，能够帮助学生更好地掌握知识点. 为此，在高中数学教学实践中，教师可巧妙融入数形结合思想，通过数字和图形的灵活转化，增强学生的直观感受. 研究首先对数形结合思想进行简要概述，然后分析当前高中数学教学中数形结合思想的运用现状，最后提出数形结合思想在高中数学教学实践中的应用策略.通过研究，以期为高中数学教学模式创新带来启发.

[关键词] 高中数学；数形结合思想；渗透

前言

在高中数学课堂教学中，数理和图形是非常重要的两个板块. 数理和图形既相互独立，又联系密切，有着内在的逻辑关系. 正因为如此，数形结合思想才有了丰富的内涵. 然而，调查发现，目前很多高中数学教师在授课时运用数形结合思想的意识十分淡薄，教学模式过于单一，导致学生数学学习兴趣不浓. 按照新课程指标的标准，高中数学教师应该积极创新教学模式，在教学实践中积极融入数形结合思想，化难为简，辅助学生更好地理解基本知识点，并有效掌握解题技巧，进而提高教学质量.

数形结合教学是指在讲授某一个公式概念或图形转换时，可将抽象的数理转化为具体图形，也可将具体的图形转化为相关概念，有效结合抽象和形象的思维模式，以使教学知识点简单化，利于学生更好地理解和记忆. 而要有效应用数形结合教学思想，务必要遵循双向性、互动性等原则. 其中，双向性原则表示在直观分析几何图形之前，先考虑其代数的抽象性. 代数语言自身较强的逻辑性和精准性可弥补直观分析的缺陷，进而将数形结合的功效有效彰显出来. 而互动性原则要求增强教学过程中师生的交流互动，教师应有效进行情景教学，通过创设情景引导学生更好地理解知识点，并快速掌握知识点，最终增强教学实效.

高中数学教师运用数形结合思想的现状及存在问题

目前，部分高中数学教师存在着形式主义的问题，在运用数形结合思想时尚未达到应有的水平. 虽然许多教师对数形结合教学思想有所提及，但缺乏一套有目的、有计划、有步骤的实践渗透模式，因此未能真正在数学教学中发挥好数形结合教学思想的积极作用. 概括而言，高中数学教师在运用数形结合思想时普遍存在以下问题：

（一）数形结合教学意识不强

在教学实践中，多数教师只是对数形互补或互译进行盲目讲授，但对数形结合真正的含义理解不够，更不能对此教学思想进行灵活应用. 很多教师的教学模式基本是照本宣科，单纯对教材中的公式定理进行讲解，未有效拓展、补充和引申教学内容. 在讲解数形结合思想时，也存在模糊不清、指代不明等问题，给学生的学习带来了不小的困难.

（二）教师制图能力有限

调查发现，不少教师在进行图形制作过程中缺乏准确性、规范性，致使图形制作不能很好地表述知识点，数形结合教学思想就失去了原本的意义. 此外，教师也缺乏对学生几何语言的训练，因而大多数的学生在学习某一知识点或主题时，对几何语言的理解不透，观看图形时想象力也十分有限，因此在很大程度上阻碍着数形结合思想的运用.

（三）师生构图技巧缺乏

由于学生的图形制作训练少之又少，因而在处理相关数学问题时，多数学生在几何构图板块有心无力，抑或是掌握的图形制作技巧不足，不能快速、高效地处理好学习问题.由上可知，当前高中数学教学过程中普遍提及数形结合思想，如何将这些教学思想有计划、有实效地渗透到教学实践中还待探讨.

数形结合思想在高中数学教学中的运用途径

（一）培养师生数形结合意识

培养师生数形结合意识，是高效运用数形结合思想的前提条件之一. 教师作为授课的主体，其自身的教学思想和素质将直接影响到教学的质量. 为此，要真正发挥数形结合思想的作用，首先需要保证教师自身的教学素质，并提升学生对数形结合思想的运用能力. 具体来说，就是教师应该摈弃传统照本宣读的教学模式，根据学生身心发展的规律展开教学，采取多样化教学手段，将学生学习的潜能最大限度激发出来. 在教学实践中，教师应该抓住时机巧妙融入数形结合教育思想，从感受、解释、应用和内化四方面层层递进，让学生在潜移默化中得到积极影响.

在此基础上，教师还需要辅助学生理解知识点的深层次内涵. 学生通过运用数形结合思想，可以形成一种清晰、明确的数形结合思维规律，并掌握其中的思想含义和应用技巧. 接下来，就能够引导学生将数形结合思想有效运用到解题过程中. 此外，还要求学生对数形结合思想和方法有一个系统全面的认识，并将其转变为自身的一种固有的解题思维和模式，并在学习过程中灵活调用. 这是提高学生数形结合思维意识的系统过程，期间需要教师将此思想层层贯彻，让学生在潜移默化中获得进步.

此外，为培养师生数形结合意识，还需要遵循三大原则，具体为：

（1）等价性原则. 教师在指导学生解题时，应该提醒学生考虑好选择代数解题还是图形解题更为简易便捷，随后再进一步展开工作. 在进行数形转换时，保证转换指标间的等价性. 例如，在平面直角坐标系中将函数的位置标出来，则可找到每个函数值唯一相应的点，这就需要保持函数和图像的一致性.数量关系可通过图形来确定，要将数量中的那个特殊点找出来，以此作为问题解答的切入点，可提高解题的速度和效率.

（2）双向性原则. 教师在进行某一知识点讲解时，可以将代数解题和构图解题等方法呈现给学生，让学生了解到数形结合学习的功效. 代数的特点是比较抽象，而几何图形的特点是相对直观，教师应向学生讲解二者结合解题的优势和技巧. 例如，对于一些相对简单的数学题，就可采取代数解题方式，不必勾勒出复杂的图形. 而对一些难度较大的数学题，为了便于学生理解，则可勾画出相关图形辅助学生理解.

（3）互动性原则. 从某种程度上说，在教学实践中融入数形结合思想就是增强师生互动的一个过程. 学生通过与教师的交流互动，进而实现数形结合思想在自身思维模式中的转化. 新课程标准要求，当前高中数学教学应该增强学生的自学能力，学生在解题过程中既可灵活应用数形结合方法，又可找到自我发展的突破点. 由此可知，要促使数形结合思想有效地渗透到高中数学教学中，务必要先增强师生对其的意识和认识.

（二）灵活转换数理和图形

为更好地运用数形结合思想，首先可化数为图，实现抽象数据的具体化. 图形较之数学语言具备更强的直观性. 因此在教学实践中，对于一些抽象的、难以求解的代数问题可以选择数形转换的方法来解答. 通过这种方式，有利于引导学生形成灵活的解题思维，并提高其解题质量和解题技巧. 例如，教师在教学“集合”板块内容时，由于初次向学生呈现这一概念，因而学生难以理解集合间的关系. 对此，教师就可通过构图方式辅助学生理解. 换而言之，教师可通过维恩图去表示集合，用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，要求学生找出两条封闭曲线的位置关系有几种，并将其画出来. 此时，学生一般会画出以下不同的四种位置关系. 见图1.

随后，引导学生找出这四种关系的相同点和不同点，并通过集合语言进行表述，因此可得除了（1），其余的A，B都有公共部分. 其中，（2）中的A，B有共同元素，但一部分元素并不所属另一集合中. （3）中的集合B完全包含了集合A，集合A中的所有元素均属集合B. （4）中的A，B集合重合. 为此，教师就可对问题进行总结，即集合A为集合B的子集.通过构造维恩（Venn）图，学生可以对“子集”这一抽象概念有更直观、形象的认识，并很快理解和掌握知识点，这就是数形结合思想的价值所在. 再如，教师要解答例题“已知方程x2-1=k+1，当k取值不同时，可得出几个方程的解”时，可对学生如此引导：先分解方程式为两个函数，即是y1=x2-1和y2=k+1，画出函数图像（见图2），随后将方程式解答出来.

观察图像，可发现如下问题：①当k<-1时，两个函数无交集，此时可知原方程无解；②当k=-1时，函数有2个交点，由此可知原方程的解有2个；③当-10时，则可见2个交点，由此可证原方程的解有2个. 上述可知，通过观察直观的图形，不仅可以更便捷地找出函数的交点个数及方程的解，还保证学生观察能力和逻辑思维能力得到有效锻炼.

其次，可化图为数，实现具体图形的公式化. 尽管图形解题比较直观、形象，但其精准性并不高，且缺乏逻辑性，因此在某些题目中单纯依靠观察图形难以找出答案. 对此，教师便可巧妙应用数形结合思想，将相关的图形公式化，让学生找准解题的切入点.例如，教师在讲解例题“当 f（x）=x2-2ax+2时，若x不小于-1，则可得f（x）>a恒成立，那么a取值范围是什么”时，可以题目中给出的已知条件为根据，引导学生展开思考：由“若x不小于-1，则可得f（x）>a恒成立”可知，在“[-1，+∞）的范围内，x2-2ax+2>a恒成立，此时的函数g（x）=x2-2ax+2-a处在x轴上方（见图3）. 而不等式的成立应该保证以下条件得到满足：①Δ=4a2-4（2-a）≥0，g（-1）>0，a<-1，则可求得a值处在（-3，-2）之间；②Δ<0时，则可求得a值处在（-2，1）之间.

由上述可知，面对一些要求具体值的数学问题时，单凭图形观察难以准确找到答案，但如若将图形化作代数语言，则可增强题目的逻辑性和关联性，从而准确、全面地探索出问题答案.

（三）开展公式图形相辅教学

研究发现，尽管代数解题和图形解题均具有自身的优势，但两者还是存在一定的缺陷，唯有将两者密切联系起来，进行数理和图形的灵活转换，才能实现公式图形辅助教学的目标. 因此，在高中数学教学过程中，教师应该有效结合这两种解题思维的优势，引导学生准确、快速地求得问题答案. 例如，教师在讲解“静态函数问题”时，可以图像及坐标系的形式为根据，以使问题表述更加直观、动态，便于学生理解. 由于函数解析式计算相对精准，因而可使图像精准度低这一缺陷得到弥补；而图形自身的特点为直观形象，则可弥补数理过于抽象、虚幻的问题，通过数理和图形的有效结合，可促使数学问题得到有效解决.在教学实践过程中，数形结合思想一般适用于以下知识板块，包括一次函数、二次函数和三角函数等，对于一些代数的变化，可通过直线、曲线等表达出来，以辅助学生理解题意. 例如，教师在讲解例题“在圆（x-2）2+y2=3上存在任意的一点N（x，y），分别找出x-y的最大值和最小值”时，可对学生进行如下引导：首先，设x-y=b，转换到直线方程为y=x-b，此时直线与圆相切，则可求得直线y=x-b于y轴上的截距为-b（见图4），那么可求得x-y的最小值和最大值分别为-b1，b2.

通过上述例题可知，在高中数学解题过程中有效融入数形结合思想意义重大，一方面可促使复杂问题简单化，另一方面又可活跃学生解题思维模式，增强学生的审题能力和解题技巧. 由此可见，在高中数学教学中有效渗透数形结合思想有一定的积极意义，然而，要最大限度发挥其功能，还需要学生进行大量巩固练习来提供保障. 高中数学难度较大，单凭熟记公式定理和解题技巧难以实现质的提升，还需要学生懂得学以致用，能够从自身的知识体系中灵活调取相关知识点或关联因素. 因此，学生自身也应做到自主、自觉学习，多接触不同题型，学会总结知识点，总结解题技巧，这样才能灵活应用数形结合思想解题.

结束语

按照新课程的标准，高中数学教师必须要创新教学模式，促进代数解题和图形解题的有效结合，将数形结合思想贯彻到数学教学的始终. 在数学教学实践中有效融入数形结合思想，既可将复杂问题简单化，辅助学生更快速、更准确地做出解答，还可使学生的思维模式在潜移默化中得到拓展，能够从整体上提升他们的理解和应用能力.