以“等差数列性质的探究”为例，谈数学规则课教学

杭丽华

[摘 要] 数学规则的习得、转化以及应用，是高中数学规则课的三个阶段，每个阶段都包含着数学知识发展的各个重要环节与内容. 如何使数学规则课能够产生优效教学的效果，在本文“等差数列性质的探究”这一实例研究活动中得到了详尽的阐述.

[关键词] 高中数学规则课；教学；思考

程序性知识包含数学规则这一内容，因此，数学规则的学习完全可以被纳入程序性知识的范畴来进行相关研究. 如果学生学会用大量的例证来对数学规则反映的关系进行说明，并且能在不同的情境中灵活运用数学规则进行实际问题的解决，那么数学规则课的教学主要任务也就基本实现了. 数学规则的习得、转化以及应用这三方面都是高中数学规则课的主要内容. 对所学新规则的认知和理解是数学规则习得阶段的主要内容；而转化阶段的主要任务便是使学生学会从陈述性形式向程序性形式转化，其中明确运用规则办事时所需的程序与步骤是本阶段学习的重点，变式训练是顺利转化的关键条件；数学规则应用阶段的重点则是使学生学会运用规则进行迁移性问题的解决.

本文结合“等差数列性质的探究”，依据数学规则课的特点等，具体阐述如何组织数学规则课优效教学.

教学环节设计及意图

教学环节1：引导学生复习、回顾等差数列的概念与通项公式，并提问：

（1）你们还记得等差数列的定义吗？用递推公式进行等差数列的表达，可行吗？

（2）等差数列的通项公式你们还记得吗？

（学生根据问题积极发言，教师引导学生进行规范表述）

师：本节课我们所有的活动都是围绕等差数列的性质与判定方法的探究来进行的.

设计意图：回顾旧知，为新知做准备.

教学环节2：探寻等差数列的性质.

投影：已知an=3n-5是等差数列{an}的通项公式.

（1）求a4+a8，a3+a9，a1+a11，2a6；

（2）根据以上计算结果，你有什么发现？

（在学生独立解题之后，引导学生交流、探寻结论）

设计意图：为探究做铺垫.

师：你们能得到什么结论？

（学生归纳、猜想和表述）

性质1：在等差数列{an}中，如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），那么am+an=ap+aq.

师：你能证明这一结论吗？

（给学生时间与空间独立证题，然后引导各小组进行合作、讨论、交流）

设计意图：合情推理探究.

板书证明方法：在等差数列{an}中，am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d，ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d，又m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），所以am+an=ap+aq.

设计意图：推理论证.

师：根据以上性质，你还有其他的发现吗？

生1：如果m+n=2p（m，n，p∈N*），那么am+an=2ap.

生2：a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1（n>k>0，n，k∈N*）.

设计意图：变式训练.

教师投影：（1）在等差数列{an}中，如果a1+a21=50，那么a10+a12=（ ），2a11=（ ）；

（2）在等差数列{an}中，如果a3=2，那么a1+a2+a3+a4+a5=（ ）.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

（学生独立解题）

设计意图：引导学生运用.

师：哪个公式被用在了以上性质的证明过程中？

生：通项公式an=a1+（n-1）d.

设计意图：反思.

师：等差数列跟哪一种函数有关联？

生：通项公式an=a1+（n-1）d经过变形后，为an=dn+（a1-d），所以可以认为等差数列的通项公式是关于项数n的一次函数.

设计意图：提供先行组织者.

师：反过来表述会产生怎样的结论？

投影：已知an=pn+q是數列{an}的通项公式，且p，q是常数，这个数列一定是等差数列这一说法对吗？为什么？

设计意图：逆向探寻.

师：判断一个数列是等差数列的标准是什么？

（学生用定义法板演解题过程）

设计意图：演绎推理.

师：你知道这个等差数列的首项和公差吗？

生：首项是p+q，公差是p.

（师生合作，抽象概括）

性质2：等差数列的通项公式正是关于项数n的一次函数. 反之，若数列{an}的通项公式是an=pn+q，且p，q是常数，那么这个数列就一定是等差数列，且其首项是p+q，公差是p.

设计意图：从函数角度进行等差数列通项公式的探究.

教师投影：（1）通项公式是an=3n-5的数列必定是等差数列吗？为什么？

（2）通项公式是an=-3n-5的数列必定是等差数列吗？为什么？

设计意图：反馈回授.

（学生独立思考并回答）

师：判定等差数列的具体方法有哪些？

学生小结——

（1）定义法：an+1-an=d（常数），n∈N*；

（2）通项公式法.

设计意图：总结方法.

师：等差数列和一次函数之间的关联由通项公式的结构特征（数）可以得出，那么，等差数列具备图像特征吗？请对以下问题进行思考与探究.

探究1：请你在平面直角坐标系中画出通项公式是an=3n-5这一数列的图像，并阐述其特征.

设计意图：变式探究.

生：（直观感知）等差数列an=3n-5的图像是一群孤立的点且均匀分布在平面直角坐标系内.

探究2：在同一个平面直角坐标系中，

（1）分别作出函数y=3x-5与数列an=3n-5的图像，你有什么发现？

（2）对比等差数列an=pn+q和一次函数y=px+q的图像，你能发现这两者之间有什么关联吗？

设计意图：由特殊现象探索特征.

（教师用多媒体动态演示函数y=px+q与数列an=pn+q的图像）

师生概括：等差数列an=pn+q的图像包含在一次函数y=px+q的图像之中，而且正好是函数y=px+q定义在正整数集（或其子集）上时对应的所有点的集合. 性质3随即得出.

性质3：等差数列an=pn+q的图像是一群孤立的点，且均匀分布在直线y=px+q上.

设计意图：数形结合.

探究3：（1）等差数列{an}的公差d具有怎样的几何意义？

（2）类比“两点确定一条直线”这一公理，你认为确定一个等差数列需要几个条件？

（3）等差数列{an}中任意两项am，an跟其公差d有怎样的关系？试证明.

（小组合作，抽象概括）

设计意图：探求新知.

性质4：如果d是等差数列的公差，那么=d（m≠n，m，n∈N*）.

（师生合作，板书证明）

师（追问）：等差数列{an}的公差d具有怎样的几何意义？

生：直线y=dx+（a1-d）的斜率.

设计意图：类比迁移.

师（追问）：等差数列{an}中任意两项am，an跟其公差d有怎样的关系？

生：（性质5）如果等差数列{an}的公差是d，那么任意两项am，an的关系为an=am+（n-m）d（m≠n，m，n∈N*）.

设计意图：推广通项公式.

师：等差数列的性质有哪些？判定等差数列的条件有哪些？

生阐述上述五个性质，并指出判定方法有两个，即定义法和通项公式法.

设计意图：引导总结.

师：你明白等差数列性质1～5的本质吗？

生：通项公式，函数特征.

设计意图：认清本质.

师：请总结你的收获.

生1：学会数形结合很重要.

生2：要善于运用类比的思想方法.

生3：发散思维、勇于探究.

设计意图：积累经验.

师：很好！数学学习中思考与探究是最重要的！

设计意图：激励评价.

教学环节3：作业.

（1）在等差数列{an}中，已知a1+2a8+a15=120，求a7+a9.

（2）完成教材中本节练习第4题，并进行等差数列相关性质的归纳.

（3）两个等差数列对应项之和或之差所构成的数列是等差数列吗？请证明.

设计意图：巩固、反思、评价.

由点及面关于数学规则课教学的几点思考

本堂示范课的主要亮点如下.

1. 理念先进. 执教者在等差数列性质的教学中引导学生进行一连串自主探索与合作交流，这正是高中数学新课程理念的体现. 学生经历了等差数列一系列性质的发现过程，并通过自主探究活动，深刻体会到了其中所蕴含的数学思想方法，意义深刻.

2. 思路清晰. 对于教材编写的意图，执教者首先便做了充分领悟与挖掘，且对数学思想方法及数学探究活动比较重视. 执教者对于数学规则课教学操作的设计、板书、追问以及总结都了然于心、游刃有余，对于学生的数学思维活动，都进行了很好的优化，高中数学“优效教學”的价值追求也得以很好地体现.

3. 策略得当. 从执教者这一角度来看，指向性明确的问题使得学生的思维活动得到有效引导，教师“引导者、组织者以及合作者”的身份扮演也尤其到位，思维的全过程展现得具体而有意义. 从学生的认知这一角度来看，阶梯式的问题，引导学生一步一步地思考与探寻，有效的变式训练和探究活动成为学生掌握知识与拓展思维的绝佳铺垫，学生对于知识的接受度也无形中得到了提高，学生的主体地位也在探究活动中彰显得尤为明显. 从教学的目标达成这一角度来看，执教者所设计的学习活动都能遵循学生的认知规律发展，从特殊到一般的归纳与提炼以及从一般到特殊的回归和总结，使得活动井然有序、探究充分，再加上有效的变式训练与学生个性养成、教学活动反思与评价的有效开展，都使得本课预设的目标能够圆满地完成.

4. 成果丰富. 本节课的探究活动表现得尤为重视问题的驱动与变式探究，等差数列的本质与其函数属性都被深入挖掘，学生对等差数列的真正理解得以实现，在运用自己的语言复述所学知识时，也达到了真正的知识内化；学生在问题的启发下主动参与并与同伴合作交流，主动提问的意识与探究问题的欲望都得到了激发；学生的理性精神与创新意识在数学知识与方法建构的过程中得到了较好的发展，学生在探究活动中表现出的状态，积极主动且敢于创新.

虽说不同类型的课型会需要不同的教学模式来加以操作和实施，但高中数学规则课的操作模式应该还有更为丰富多样的表现形式，这需要广大教师进一步追寻与探索.