基于“三个理解”的“平面向量基本定理”的教学设计及反思

龚永辉

[摘 要] 著名教育家章建跃博士在第五届全国优质课评课时曾指出：“理解数学”“理解学生”“理解教学”是进行数学有效教学的三大基石. 笔者对此深有感触. 本文结合笔者所上的一节公开课，谈谈如何践行“三个理解”.

[关键词] 理解；平面向量；基底；反思

著名教育家章建跃博士在第五届全国优质课评课时曾指出：“理解数学”“理解学生”“理解教学”是进行数学有效教学的三大基石. 笔者对此深有感触，适逢最近参加了宁波市“特级教师带徒示范课”的教研活动，笔者从践行“三个理解”的角度设计了一节公开课——《平面向量基本定理》，获得了一致好评，现将教学片段和反思整理成文，敬请广大同行批评指正.

教学片段

1. 创设情境，引入课题

情境1（展示国歌和校歌的简谱） 你能找到阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？

设计意图：从学生所熟知的歌谱出发，引导学生感受到任何一首曲子都可以用1～7这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，这与平面向量基本定理中的“基底”思想是相似的，从而让学生体会到“基本量”的思想，为接下来平面向量基本定理中的基底做铺垫.

情境2 对于斜坡上物体所受到的重力，你能分解成哪几个力？

设计意图：从学生熟悉的力的分解和合成的物理背景出发，引导学生思考：对于给定平面内任一向量，是否可以类似地进行分解？从而将目标引向教学主题.

2. 自主探究，建构定理

探究活动1：如图1，已知平面内一向量a，图中的向量b，c，d能用a表示吗？假如能，如何表示？用a还可以表示平面中的哪些向量？它们有什么关系？

设计意图：回顾共线向量定理，感受共线向量的“基底”及如何用基底表示共线向量的方法，并追问与其不共线的向量该如何表示.

探究活动2：已知两个不共线的非零向量e1，e2（如图2），求作向量a=2e1+e2，b=-3e1+e2.

追问：在上述探究活动2中，任意给出一组实数λ1，λ2，使得c=λ1e1+λ2e2，你能在平面内作出相对应的向量c吗？

设计意图：通过探究活动让学生体会到不共线的向量可以表示平面内给定的任一向量，为下面的逆向探究做铺垫.

探究活动3：对于给定的不共线的一组向量e1，e2（如图3），平面内的任意向量a是否可以用λ1e1+λ2e2来表示呢？请画图说明.

师生活动：利用几何画板不断变换向量a，体会在已知基底的情况下可以表示平面内任意向量.

探究活动4：不断变换e1，e2的位置，思考要用e1，e2表示任意向量a，e1，e2应该满足什么条件.

设计意图：创设具体的问题情境，通过教师的引导，让学生自主思考，参与作图验证等活动，使学生成功地获得平面内任意向量都能用不共线的向量线性表示的感性认识，为下一步概括定理奠定基础.

探究活动5：在已知基底e1，e2的情况下，平面内任一向量a的分解式是否唯一？试通过作图加以说明.

師生活动：教材没有对“唯一性”加以特别说明和证明，而这一点学生极易忽略，从而导致课后定理的理解应用出现偏差和错误，教师应引导学生从几何和代数两个角度加以理解. 几何方面只需用加法法则即可说明，代数方面用反证法也很好证明.

设计意图：让学生感悟实数对λ1，λ2的唯一性.

探究活动6：你能从中得到什么结论？

师生活动：学生试着通过自己的理解提炼出定理，教师适时引导、补充.

3. 学以致用，升华定理

例1 如图4，平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且=a，=b，用a，b表示，，.

设计意图：以一个熟悉而简单的问题，使学生初步掌握在具体问题中用基底来表示相关向量，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识.

变式1：如图5，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE=BD，且=a，=b，试用a，b表示.

变式2：在图5中，设=a，=b，试用a，b表示，.

变式3：在图4中确认一组基底，并将其他的向量表示出来.

设计意图：通过一组变式题，使学生明白，利用选定的基底来表示平面内任意向量是定理最基本的要求，学生必须熟练掌握. 变式3是一道开放题，如何恰当地选择基底直接影响到解题的繁简程度，使学生从中明白选择恰当基底的重要性，从而深入理解定理的本质和内涵.

变式4（拓展与提升）：设=2，点P在线段BN上，若=+m，求实数m的值.

设计意图：定理的认识和理解是一个循序渐进、逐步深化的过程，通过本题的训练，能使学生巩固知识、拓展能力、理解和深化对定理的认识与延伸，建构全面、良好的数学认知结构.

教学启示与反思

1. 理解数学，揭示本质

理解数学是实施数学优质课堂教学的前提，在定理教学中，部分教师的“课堂教学”容易重结论及反复训练，轻过程方法的生成和感受，这样势必导致学生“只知其然，而不知其所以然”，从而对知识进行机械记忆与应用.

“平面向量基本定理”是数学中为数不多的几个基本定理之一，它是平面向量的核心内容，能否正确理解定理，关系到对整个向量内容的理解和掌握程度. 笔者认为，应从以下几个方面来加以分析.

（1）深入理解平面向量基本定理的本质和延伸

平面向量基本定理刻画了平面上任意一个向量都可以用两个不共线的基底来表示，表述的是二维向量空间形式，其实它和上一节中的向量共线定理是一脉相承的，同时也是后面空间向量和三维坐标表示的基础. 再推而广之，“平面向量基本定理”其实是n维空间向量定理的一个特例，如果从这个层面来理解，定理就变得明了而简单了，也有利于教学过程中对重难点的分解和突破.

（2）平面向量基本定理是一种数与形的综合运算

类似于物理学中力的分解和合成，平面向量的分解与合成，既可以从形的角度加以理解，也可以从数的方面进行计算，高考命题者都热衷于从这两个方面进行命题，而且要求比较高，学生对于几何角度的运算都能很好地理解，但如何从数的角度进行运算却是学生的难点. 例如三点共线的数量关系、有关系数的数量比值计算，以及有关向量的几何问题代数化、代数问题几何化等，都是今后学生在学习中的难点，所以教师在进行课堂教学时，要有意识地加以引导和指点，从而为后续学习打下坚实的基础.

（3）平面向量基本定理是后续“坐标法”的根

把平面向量基本定理中的基底特殊化，即采用x，y轴方向上的单位向量来表示平面内的任一向量，从而可以得到向量的坐标表示，推而广之，也可由空间向量基本定理得到空间向量的坐标表示.

2. 理解学生，准确定位

在本节课之前，学生已经掌握了向量的基本概念和基本运算，特别是向量的加减法法则和共线向量定理，这些都为本节课的学习提供了必备的知识储备，同时，学生通过物理学科中有关力的合成和分解，作图的习惯也基本养成，这为从形的角度理解定理提供了认知准备. 但学生对于“基底”的理解肯定还存在一定的困难，不会从“基底”“元”“维数”这些角度理解定理的深刻内涵，也就难以认识到这个定理在今后向量方法中的重要作用. 针对这个问题，笔者设计了如下教学流程：生活中“基本量”的理解——物理背景中力的分解和合成——类比到平面向量基本定理的课题导入，并精心设计一连串问题，引导学生正确认识和探究定理的核心与内涵，由此便很自然地帮助学生突破了难点.

3. 理解教學，凸显主体

平面向量基本定理蕴含了丰富的数学知识和基本思想，它在解决与向量加减法有关的问题时有比较灵活的应用，平面向量基本定理实现了几何问题代数化、代数问题几何化，这种思想方法是高中数学的重要思想方法，在课堂教学中要让学生有所感悟. 在浙江高考试题中，向量是热点问题，试题往往以选择、填空压轴题的形式出现，要求很高，仅凭一节课是教不透的，学生对于平面向量基本定理的认识也不可能一步到位，所以本节课的教学目标是体会平面向量基本定理的重要性和定理的逐步形成过程，深刻理解“基底”的概念及定理的本质和内涵，学会应用定理解决相关问题.

所以，在本节课的教学活动中，要充分抓住学生这一主体，注重学生活动，充分发挥学生的主体作用，在定理形成、认识及应用的过程中让学生感知实验，动手操作，思维辩证，带领学生经历知识的整个探究、发生过程，并运用各种教学手段帮助学生理解概念的内涵和本质，实现学生知识体系的自主建构，提高学生运用数学思想方法解决具体问题的意识和能力.

结束语

通过本节公开课的教学，笔者感触良多. 在课程改革的今天，尤其是浙江新高考的实施，随着十门课程的同时开展，学生的学业负担已经很重了，如何优化数学课堂、提高数学教学的有效性、减轻学生课后负担便显得尤为重要. 对于如何在平时的教学中渗透“三个理解”的基本思想，提高有效性，笔者还在不断地探索和学习，今后，笔者将继续贯彻这一思想，努力提升自己的教学水平，也欢迎广大同仁能够提出宝贵的建议.