中学生数学写作，教学相长总相宜

彭飞

[摘 要] 围绕中学生在学习中常见的“上课能听懂，但课后不会做；有些题虽做过多遍，但仍存在思维的缺陷”的问题而展开，在教师的引导下，中学生自主地数学写作，通过自主数学写作来发现自己学习过程中遇到的问题，进而解决自身存在的问题. 基于引导学生自主写作的过程，本文最后阐述了笔者引导中学生数学自主写作的几点思考.

[关键词] 中学生；数学写作；成长

提出问题？摇

在教学中，我们时常发现课堂上讲过的题型，又或是课堂上讲了多遍的题型，让学生课后自主独立去完成，学生仍旧不会做或者做题不严谨. 这就引发教师的反思，为什么讲了多遍，学生还是做不出来呢？

分析问题

那么，通过什么方法去找到学生的问题呢？把所有做错的学生都叫过来一一谈心吗？谈心倒是好，有针对性，但是高中生的学习时间特别紧张，每一个时段都被安排得满满的，哪有时间去谈心呢？即使学生挤出一点时间，去跟他谈心，那要花多长时间才能和所有出現错误的学生都谈好呢？恐怕要和所有出现错误的学生都谈完的话，时间早就过去半个多月了，很明显，这样的做法缺乏时效性；还有就是，学生和教师面对面谈心时，学生总会出现羞涩的情况，不敢表达或者表达不清楚，甚至于有些孩子不善言辞，只听着老师讲，这样还是和学生谈心吗？还是没有将学生的主动性激发出来，只不过是换了地点继续给学生讲解那道题目罢了！那么，有没有一种办法既能节省时间，又能将每个学生的真实情况暴露出来呢？

预设方案

魏书生老师利用写说明文在班级管理中取得了很好的效果，那么现在沿用到数学教学与学习中，效果会怎么样呢？首先，从学习方法层面上讲，其实学习就是在不断地反思与总结，在反思与总结中提高自身的水平，写说明文正是对自己前期学习的反思与总结，符合了学习过程的这一规律. 第二，只要出现错误的学生每个人花一点课余时间，把这道题错误的原因写出来. 根据学生所写的内容，教师再来进行重点分析，重点解决，不仅仅节约了学生的时间，也能做到对症下药. 第三，中学生已经有一定的写作基础，也具备一定的反思能力，而且每次语文考试中，都会要求写不少于600字的作文，从而笔者初步设定数学写作学生字数为300字.

学生优秀作品呈现

基于以上三点的想法，笔者开始引导学生们自主地去进行写作. 经过一段时间的写作后，学生们的数学写作水平有所提升，从中选取了两位学生作品，以供赏析.

案例1：《关于求函数y=-cos2x-4sinx+6值域的思考》

午间作业（57）中出现了这样的一道题：求函数y=-cos2x-4sinx+6的值域. 在我做这道题的时候，知道要求值域就是求函数的最大值和最小值，因为要求最小值，所以我想只要cosx，sinx最大，再加上前面是负号，那么函数值就最小了，然后我就令cosx=1，sinx=1，然后代入计算得到最小值，然后再令cosx=-1，sinx=-1就得到了最大值，然而却得到了一个大大的红叉.

听过老师讲解之后，我发现我的方法是毫无根据的，仅仅考虑用特殊值代入是错误的，应该找到准确的解法，现将领悟后的正确解法总结如下.

第一步：化异名为同名函数，也就是将y=-cos2x-4sinx+6中的cos2x转化为1-sin2x，便可以得到y=sin2x-4sinx+5.

第二步：根据函数次数的特征进行换元，令t=sinx，换元之后要特别注意新元素t的取值范围，本题为[-1，1]，本题就转化为求y=t2-4t+5，t∈[-1，1].

第三步：由第二步可知，y=t2-4t+5，t∈[-1，1]是二次函数的一部分，画出图像，如图1所示，便可以得出函数的值域是[2，10].

图1

在我以后的解题中，我要注意学会使用换元法解题，注意换元之后定义域的取值，结合图像求解，另外还要注意的是计算一定要准确.

案例2：《一道基本不等式题引发的思考》

题目1：已知a>0，b>0，a+b=ab，求a+b的最小值.

刚开始解决此题时，处于茫然中，因为之前没有遇到过此类问题，就尝试着去做一做. 因为a+b=ab，所以求a+b的最小值，即为ab的最小值. 因为a>0，b>0，a+b≥2，所以得到ab≥2，构造成关于的一元二次不等式，故解得ab≥4，所以（a+b）min=4，当且仅当a=b=2时成立. 这其中运用了基本不等式公式，但基本不等式强调“一正二定三相等”，本题在运用基本不等式时，积与和都不是定值，这样做能对吗？能不能用其他方法进行验证呢？

经过一番思考后，借助于课本的一道习题（苏教版必修5第106页第16题），本题的条件a+b=ab可以转化为+=1，故要求的a+b=（a+b）·1=（a+b）·+=1+++1≥2+2=4，当且仅当a=b=2时成立. 该方法采用了“1”的代换，“1”的代换和最常用的方法，当然也要满足“一正二定三相等”这三个条件，事实上这些条件该题都已经满足了，从而使第一种方法得到了很好的验证. 课间与老师交流后，说明第一种方法是可行的，因为a>0，b>0，a+b≥2是一个恒等式，可以用来构造不等式，从而解出相关变量的范围.

举一反三：如果本题变为已知a>0，b>0，a+b=ab-3，求a+b的最小值.

本题也可以利用基本不等式进行构造. 因为a+b=ab-3，所以ab-3≥2，将看成整体，解得≥3，故ab≥9，则a+b=ab-3≥9-3=6，即（a+b）min=6. 沿用题目1的第一种方法，仍旧可行，但是第二种方法——“1”的代换，则行不通. 此题有其他解法吗？课后与数学老师交流后，本题可以将条件进行适当转化（因式分解）：（a-1）（b-1）=4，然后令a-1=x，b-1=y，显然x，y均是大于0的，故本题则变为已知x>0，y>0，xy=4，求x+y+2的最小值. 基本不等式一步到位：x+y+2≥2+2=4，当且仅当x=y=2时取“=”. 可以看出此题运用了“因式分解+换元”的思路，将原本看来比较复杂的形式进行了转化，转化成了熟悉的习题.

总结来说，利用基本不等式解决最值问题有构造不等式法、“1”的代换法、“因式分解+换元法”等，但都需要对条件进行适当变形.

以上两篇案例是来源于学生平时的数学写作，其中案例1是在刚开始要求学生写作的，案例2则是在学生已经写作了一段时间，而且有了一定的写作经验下进行书写的，由于篇幅问题，仅选取了这样较为经典的两篇作为研究载体. 当然还有学生写到老师对他不够关心、老师教法单一、学生自己的学习态度不够端正、课堂上自己容易打瞌睡，等等. 笔者每每看完学生写作的内容后，对教学都会有更深的认识，对课堂也会有更多的了解，这样才会有改进，从而才能更好地促进课堂教学.

几点思考

一次简单的数学写作，却引来了课堂教学大的改进. 笔者试想数学写作确实是一个走进学生心里的好方法.

首先，学生自我反省，教师点拨助成长. 从上面的案例1可以看出，学生写反思的过程，其实就是暴露自己存在问题的过程，也是在寻求正确解法的过程，从而达到将解法内化成自己的学法. 同时对我们教者而言，课堂上不能仅仅要关注解题方法的讲解，而且要关注学生的“想法”，尤其是学生“错误的想法”. 人与生俱来就有先入为主的观念，学生错误的想法其实已经先于教师讲解前占据了大脑，学生错误的想法得不到有效及时的纠正，那么学生就会不停地犯同样的错误，只有有效及时地纠正学生的错误，学生的学习才会更加有效. 案例1中求值域的问题便是如此，学生在初中就形成了直接代端点值的方法求值，到了高中后，问题发生了一定变化，此方法不能直接使用，而学生却错误地认为，问题与初中学习的是一样的，便将初中的方法套用过来，从而与正确答案失之交臂，故教师在讲解概念、方法时，应多关注学生的学情，发现学生思想中存在的错乱的概念或错误的方法，为其纠正，促使学生到达胜利的彼岸.

第二，师生平等对话，心灵更相通. 学生们十分渴望与教师有一次平等交流的机会，但由于学生头脑中一直存在“师道尊严”的思想，造成了很多学生不敢和老师讲话. 但是借助于数学写作，学生写出了自己的心声，写出了自己的困惑，写出了他们急切希望得到老师帮助的心声. 有些学生写到，希望老师关注我上课打瞌睡的情况，在我打瞌睡的时候，老师实时地提醒我. 确实如此，现在的高中生，学习压力特别大、学习时间又特别长，学生打瞌睡时有发生. 而数学学科又是一个逻辑性特别强的学科，若是学生打瞌睡期间没有弄懂某个问题，那么就会影响学生后续的学习. 但经过教师的提醒后，学生将得到有效的成长. 案例1中就是如此，解题的方法分三步，如果学生没有听到第二步，那么第三步则也有可能听不懂，故课后作业也不能正确地解决，自然学生的学习自信心也会受到打击，从而学生学习的动力、兴趣就会丧失. 通过数学写作，提供一个给予学生与教师对话的平台，既增进了师生的情感，同时又增强了学生学习数学的积极性与自信心.

第三，先行组织者技术，学习变轻松. 案例1中，求某个范围下的二次函数的值域，其实这类题研究的是初中学习过二次函数的一部分，在高中阶段讲解时，教师则应利用“先行组织者技术”将初中学习过的二次函数进行整体的复习，进而再来学习局部的二次函数这个新的知识，学生就会轻松很多. 而有时我们教师则会忽略这样的问题，往往认为学生掌握得很好，忽视了对以往知识的复习，没有把握好初高中知识之间的联系，也就容易造成学生在新知识学习时的困难. 学生的数学写作，充分暴露出學生对以往知识或是方法存在的问题，教师要充分发现学生暴露的此类问题，利用“先行组织者技术”对学生已有的常识或学习过的知识进行复习，有了先前知识的准备后，教师的教与学生的学两方面的互动才会更加精彩，学生学习将更轻松，效果才会更有效.

第四，适当“稚化”教师思维，促进学生更好吸收. 相比较案例1而言，案例2更为成熟，写作内容不仅仅局限于反思，更有举一反三的发散思维. 在于学生探讨案例2的第二种解法时，有这样一句话：“令a-1=x，b-1=y，显然x，y均是大于0.” 学生突然问道，为什么x，y显然是大于0啊？当时，笔者记得这样回答，显然就是一目了然啊. 学生的反应则是愣了又愣，然后回答笔者说，老师我只能由a>0，b>0得到x>-1，y>-1，看不出x，y显然是大于0啊，你是怎么得到的啊？其实x，y大于0是很容易看出来的，因为条件xy=4，故得到x，y同号，如若-1

第五，主动探索，教学相长. 教师的教是为了不教，不教是建立在学生能主动积极，自我学习、自我探索的基础上而实施的. 从案例1与案例2的对比来看，随着中学生数学写作的不断深入，中学生的数学思维能力得到了不断的提升，由原来只能写反思，到现在能举一反三，学生自主学习的能力得到了很大程度的提升，由原来的被动学习，到现在能主动探索，充分发挥了学生学习的主观能动性. 在学生探索的过程中，教师的业务能力必然也要不断地提高，以适应知识、能力都在不断增长的学生.

第六，问渠哪得清如水？唯有源头活水来. 中学生数学写作其实就是中学生自身不断反省、总结、提升的过程，学生在写作中不断发现新问题. 爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题. 而提出的新问题却需要创造性的想象力. ”案例2中，是学生自己总结的内容，由教师讲过的题目a>0，b>0，a+b=ab出发，联想到如果条件发生改变呢？变为a>0，b>0，a+b=ab-3呢？怎么解决？案例2中的学生已经不是机械、重复、模仿学习的学生，俨然成为了思考者，目前虽还没有提出创造性的问题，但是只要坚持努力下去，我们相信学生将来肯定会提出创造性问题. 这样的学生不仅仅只是有了一碗水、一桶水，他将会拥有一个“活水源”. 学生会不断地思考出教师意想不到的内容，在教师引导、指导下，最终会实现青出于蓝而胜于蓝，其实这也是我们教育工作者努力的方向. 同时，教师也会受到学生源源不断的“活水”的影响，势必会倒逼教师要不停地努力，努力的过程就是教师成长的过程，教与学才会更加相得益彰.