一道期末测试命题引发的教学反思

李建波

【摘要】 高中学生会面对无数次考试检测，对教师来说每次检测都是对前一段教学的反馈和检查.每次检测所反馈的问题可能是由多方面原因造成的，如果造成这些问题的原因不能及时得到正确的认识和纠正，可能会在往后的教学中造成更大更严重的问题.基于此，学生每次考试后我都会认真分析出现的问题以及思考问题背后所隐藏在教学中的问题.本文以期末考试一道向量题为例，引发我对向量教学的思考与反思.

【关键词】 平面向量;教学反思;课程标准

珠海市2016级高一第二学期期末考试试题有一道这样的平面向量的填空题.

在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A平分线与AB边上的中线交于O点.若AO =xAB +yAC （x，y∈ R ），则x+y的值为 .

在考试结束后，我们年级数学教师在一起讨论过这道题.有的教师认为此题的解题过程涉及角平分线性质定理的应用，但该定理在教材中并没有明确提出，此题超出了考试大纲.

真的是这样吗？

先分析用角平分线性质定理求解的思路，取AB边中点D，连接CD交∠A平分线于点Ο，

由平分线性质定理得 DO OC = AD AC = 1 3 ，

所以DO = 1 4 DC = 1 4 （AC -AD ）= 1 4 AC - 1 8 AB ，

所以AO =AD +DC = 1 2 AB + 1 4 AC - 1 8 AB = 3 8 AB + 1 4 AC ，

故x= 3 8 ，y= 1 4 ，x+y= 5 8 .

那么如果不用平分线性质定理，此题是否有解？我给出如下两种解法供大家参考.

解法一：由角分线定义出发，结合平面向量数量积以及∠BAO=∠CAO得

AB ·AO  AB ·AO  = AC ·AO  AC ·AO   4x+6ycosA 2 = 6xcosA+9y 3 .

又D，O，C三点共线，所以2x+y=1，

解得x= 3 8 ，y= 1 4 ，所以x+y= 5 8 .

解法二：从向量加法的平行四边形法则出发可得

AO =λ  1 2 AB + 1 3 AC  ，

所以2x=3y，可求得x= 3 8 ，y= 1 4 .

所以x+y= 5 8 .

由此可见，利用角平分线定理并不是唯一的方法，相反回归定义法中去，解法更加简单.

众所周知，初高中数学知识是塔形结构，塔形结构最底层是双基以及内容所反映的数学思想及方法，然后就是在双基内容所反映的数学思想方法的基础上，抽象概括的核心概念，再由概括形成数学观念，进而形成哲学观念.作为一名优秀教师的知识结构和认知过程，应该是自上而下的过程，简单地说，教师教一个知识点时，与其对这个知识点的看法有直接关系，与其是否具有更高的观点有直接关系.

最新数学课程标准中对平面向量的要求是“理解平面向量积运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力”.在学向量之前的运算都是数与式的运算，但向量运算既是数的运算，也是图像的运算，向量将两者有机融合在一起，因此，要求发展学生的运算能力.正如章建跃教授所说：“当下很多向量问题的教学，没有反映向量法的本质，往往是披着向量法的外衣，行综合几何方法之实，再者就是把向量中的代数化曲解为坐标运算，窄化了向量法的应用范围.”

向量的加法法則与三角形定义一致，三角形是最基本最重要的几何图形之一，也是整个欧氏几何的基础.向量数乘与三角形相似紧密联系;平面向量基本定理与平行四边形的性质一致;平面向量内积与三角形余弦定理等价;等等.

因此，在向量知识的教学中我们应该加强对“方向”的认识;加强从四个“向量一般定理”（平面向量基本定理、向量的加法法则、向量数乘的意义及运算律、向量数量积的意义及运算律）出发思考解决问题的能力;加强“代数运算”与“图形运算”的结合，让学生对向量法有基本而全面的认识.

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.高中数学（必修4）[M].北京：人民教育出版社，2007.