离散形式Minkowski不等式的几种证明

陈晓莉 吴妍翎

【摘要】 Minkowski不等式是分析中几个重要的不等式之一，它的应用非常广泛.我们整理了Minkowski不等式证明的四种方法，包括利用Hlder不等式、利用Lagrange乘子、利用凸函数的性质以及利用单调函数的性质来证明.

【关键词】 Minkowski不等式;Hlder不等式;凸函数

【基金项目】 国家自然科学基金（11461033）;江西省教改课题（JXJG-14-2-9）.

一、引 言

通常，分析中几个基本不等式是指Hlder不等式（含Cauchy-Schwarz不等式）、Minkowski不等式和Young不等式等.著名数学家Hardy在其著作[1]《不等式》（Inequality）中称该不等式“极为重要”和“到处都要用到”.一开始，Minkowski不等式是以离散（数列）的形式出现，后来Riesz对其进行推广，得到了积分形式的Minkowski不等式，并用其建立Lp空间理论.我们这里主要介绍离散形式的Minkowski，并整理了多种证明.

定理 [2] 设a={a1，a2，…，an}，b={b1，b2，…，bn}，其中ai≥0，bi≥0.则当1≤p<∞时，有

∑ n i=1 （ai+bi）p  1 p ≤ ∑ n i=1 api  1 p + ∑ n i=1 bpi  1 p ， （1）

且等号成立的充要条件是ai，bi成比例，即存在不全为零的非负实数λ1，λ2，使得对任意ai，bi（i=1，2，…，n）有λ1ai=λ2bi.

二、定理的证明

当p=1时，结论显然成立.因此，只需证明1<p<∞的情形.由于

∑ n i=1 （ai+bi）p=∑ n i=1 （ai+bi）（ai+bi） p q =∑ n i=1 ai（ai+bi） p q +∑ n i=1 bi（ai+bi） p q . （2）

因此，要證明Minkowski不等式只需证明

∑ n i=1 ai（ai+bi） p q ≤ ∑ n i=1 api  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q  （3）

和

∑ n i=1 bi（ai+bi） p q ≤ ∑ n i=1 bpi  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q  （4）

同时成立.结合（2）—（4），可得

∑ n i=1 （ai+bi）p≤ ∑ n i=1 api  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q + ∑ n i=1 bpi  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q

=  ∑ n i=1 api  1 p + ∑ n i=1 bpi  1 p   ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q .

整理即得不等式（1）.

当存在不全为零的非负实数λ1，λ2，使得对于任意λ1ai=λ2bi，ai，bi（i=1，2，…，n），则等号显然成立.

不等式（3）和（4）的证明类似，因此只需证明（3）.下面我们整理出四种不同的证明方法.

（一）利用Hlder不等式来证明

由文献[3]可知，当1<p，q<∞， 1 p + 1 q =1且Xi，Yi≥0，i=1，…，n时，有下面的Hlder不等式：

∑ n i=1 XiYi≤ ∑ n i=1 Xpi  1 p  ∑ n i=1 Yqi  1 q .

等号当且仅当存在不全为零的非负实数λ1，λ2使得对于任意Xi，Yi（i=1，2，…，n）有λ1ai=λ2bi时成立.因此，利用Hlder不等式可以得到不等式（3）.

（二）运用拉格朗日乘子法来证明

若将不等式（3）的证明问题转化为条件极值问题，则可以运用拉格朗日乘子法来证明Minkowski不等式，参见文献[4].要证明不等式（3），即证

∑ n i=1 ai（ai+bi） p q   ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q  ≤ ∑ n i=1 api  1 p . （5）

不妨令xi= （ai+bi） p q   ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q  ，则不等式转化为

∑ n i=1 aixi≤ ∑ n i=1 api  1 p . （6）

注意到∑ n i=1 xqi= ∑ n i=1 （ai+bi）p ∑ n i=1 （ai+bi）p =1.

因此，若把 ∑ n i=1 api  1 p 看成函数f（x1，x2，…，xn）=∑ n i=1 aixi在限制条件∑ n i=1 xqi=1下的最大值，则不等式（6）成立.

令L（x1，x2，…，xn，λ）=∑ n i=1 aixi+λ 1-∑ n i=1 xqi .假设 L xi = L λ =0，可得方程组

L xi =ai-qλixq-1i=0， L λ =1-∑ n i=1 xqi=0. （i=1，2，…，n）

解上述方程组可得

xi=  ai λq   1 q-1 . （7）

利用∑ n i=1 xqi=1和 1 p + 1 q =1可得

∑ n i=1   ai λq   q q-1 =∑ n i=1   ai λq  p=1.

即λq= ∑ n i=1 api  1 p . （8）

将式（8）代入式（7）可得

xi= a 1 q-1 i  ∑ n i=1 api  1 q  （i=1，2，…，n）.

这是拉格朗日函数L（x1，x2，…，xn，λ）的稳定点，且方程的解唯一，由实际问题可知最大值在唯一稳定点取得.从而有

fmax（x1，x2，…，xn）= ∑ n i=1 aia 1 q-1 i  ∑ n i=1 api  1 q  = ∑ n i=1 api  ∑ n i=1 api  1 q

= ∑ n i=1 api  1 p ，

即∑ n i=1 aixi≤ ∑ n i=1 api  1 p .

故不等式（3）成立.

（三）利用凸函数的性质来证明

作辅助函数f（x）=-x 1 q （x>0）.

则

f″（x）=- 1 q   1 q -1 x 1 q -2>0（x>0），

因此，f（x）在（0，+∞）上是凸函数.

令xi= （ai+bi）p api ，λi= api ∑ n i=1 api ，i=1，2，…，n，其中 1 p + 1 q =1.则∑ n i=1 λi=1.由Jensen不等式，见文献[5]（P151例3），可得

-（λ1x1+λ2x2+…+λnxn） 1 q ≤λ1（-x 1 q 1）+λ2（-x 1 q 2）+…+λn（-x 1 q n）.

即

（λ1x1+λ2x2+…+λnxn） 1 q ≥λ1x 1 q 1+λ2x 1 q 2+…+λnx 1 q n. （9）

结合xi，bi的定义和不等式（9）可得

∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q   ∑ n i=1 api  1 q  ≥ ∑ n i=1 ai（ai+bi） p q  ∑ n i=1 api ，

整理得

∑ n i=1 ai（ai+bi） p q ≤ ∑ n i=1 api  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p  1 q ，

即不等式（3）.

（四）利用函数的单调性来证明

1986年，王志雄在文献[6]中构造一个函数，利用该函数的单调性来证明Minkowski不等式.下面简单介绍此证明方法.

作辅助函数

f（t）=  ∑ n i=1 xi（yi+t）α  1 α   ∑ n i=1 xi（yi+t）β  1 β  （xi>0，yi>0，β>α），

则f（t）是（0，+∞）上单调递增函数，此外当且仅当y1=y2=…=yn时，f（t）为常值函数.因此有

∑ n i=1 xiyαi  1 α   ∑ n i=1 xiyβi  1 β  =f（0）≤lim t→∞ f（t）

=lim t→∞   ∑ n i=1 xi  yi t +1 α  1 α   ∑ n i=1 xi  yi t +1 β  1 β  = ∑ n i=1 xi  1 α - 1 β .

化简可得

∑ n i=1 xiyαi  1 α ≤ ∑ n i=1 xi  1 α - 1 β  ∑ n i=1 xiyβi  1 β .

令α=1，β=p>1，xi=（ai+bi）p，

yi= ai ai+bi （i=1，2，…，n），则

∑ n i=1 （ai+bi）p-1ai≤ ∑ n i=1 api  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p 1- 1 p . （10）

等号成立当且仅当

a1 a1+b1 = a2 a2+b2 =…= an an+bn .

这等价于存在不全为零的非负实数λ1，λ2使得对于任意的ai，bi（i=1，2，…，n）有λ1ai=λ2bi.

同理，令α=1，β=p>1，xi=（ai+bi）p，

yi= bi ai+bi （i=1，2，…，n），可得

∑ n i=1 （ai+bi）p-1bi≤ ∑ n i=1 bpi  1 p  ∑ n i=1 （ai+bi）p 1- 1 p . （11）

将（10）和（11）两式相加，得

∑ n i=1 （ai+bi）p

≤  ∑ n i=1 api  1 p + ∑ n i=1 bpi  1 p   ∑ n i=1 （ai+bi）p 1- 1 p .

即

∑ n i=1 （ai+bi）p  1 p ≤ ∑ n i=1 api  1 p + ∑ n i=1 bpi  1 p .

【参考文献】

[1]G Hardy，J Littlewood，G Pólya.不等式：第2版[M].越民义，译.北京：人民邮电出版社，2008.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法：第2版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]王声望，郑维行.实变函数与泛函分析概要：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]高英敏.Langrange乘数法与Minkowski不等式[J].青海大学学报（自然科学版），2003（2）：57-58.

[5]华东师范大學数学系.数学分析（上册）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]王志雄.一个函数的单调性及若干经典不等式的统一证明[J].数学通报，1986（3）：36-37.