“远小于”在数学学习中的应用

柴艳玲 陈小丹

【摘要】 在数学公式中，“”代表远小于符号，表示一个数远小于另一个数，它在数学近似计算中起着非常重要的作用.数学中的边际函数以及微分近似计算等都与之相关.了解远小于的意义，还有利于帮助学生体会高等数学与初等数学方法上的不同.

【关键词】 远小于;近似计算;边际函数

一、问题提出

生产某产品x件时的总成本函数为C（x）=x2+2x+7，边际成本函数为C′（x）=2x+2[1].当x=1时，C′（1）=2×1+2=4.也就是说生产第2件产品所需的成本为4，但是C（2）-C（1）=15-10=5，ΔC≠C′（1），误差达10 % .这是为什么呢？

二、问题分析

（一）微分近似计算

微分的定义（正方形面积改变量的近似值）[2]

已知正方形边长为x=x0，对应于边长x的改变量Δx>0，面积y取得改变量Δy=（x0+Δx）2-x20=2x0Δx+（Δx）2.

当边长改变量的绝对值|Δx|很小时，面积改变量Δy与边长改变量Δx的正比例函数2x0Δx之差Δy-2x0Δx=（Δx）2的绝对值就更小.当Δx→0时，差Δy-2x0Δx=（Δx）2是比Δx较高阶的无穷小量.于是可以把正比例函数2x0Δx作为面积改变量Δy的近似值，即

Δy≈2x0Δx（|Δx|很小）.

此时，|Δx|要相对于x0很小，或称远小于.

如果函数y=f（x）在点x0及其左右有定义，当自变量x在点x0处的改变量Δx≠0，相应函数改变量为Δy.当Δx→0时，若存在常数A，使得差Δy-AΔx是比Δx较高阶无穷小量，则称函数y=f（x）在点x0处可微，并称自变量改变量Δx的正比例函数AΔx为函数y=f（x）在点x0处的微分值，记作dy|x=x0=AΔx.当自变量改变量的绝对值|Δx|很小时，则函数y=f（x）在点x0处的改变量Δy近似等于在点x0处的微分值dy|x=x0，即Δy≈dy|x=x0（|Δx|很小），

即f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，

故f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx.

当|Δx|要相对于x0很小时，此结论可以用来做近似计算.

例1   近似计算 3 998 的值[3].

解  取f（x）= 3 x ，则f′（x）= 1 3 3 x2  ，令x0=1 000，Δx=-2，由f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx得

3 998 ≈ 3 1 000 + 1 3 3 1 0002  ×（-2）=10- 2 300 = 1 499 150 ≈9.993 3，

|Δx|=2远小于1 000.

（二）边际成本

设C=C（x）为总成本函数，对产量x的一阶导数C′（x）称为边际成本函数.根据成本函数的定义，总成本函数C=C（x）在产量x0水平上对产量x的一阶导数C′（x0）称为在产量x0水平上的边际成本值.

根据微分的概念，当产量x0水平上有了该变量Δx时，总成本函数改变量

ΔC≈dC|x=x0=C′（x0）Δx（|Δx|很小）.

特别地，若取Δx=1，则有ΔC≈C′（x0）Δx.

说明在产量x0水平上的边际成本值可以近似表示在产量x0水平上增加一个单位产量所需要增添的成本.这里|Δx|很小应理解为相对于产量x0很小，或者说x0远远大于1.

而问题中Δx=x0=1，此时产生的误差较大.

例2  [4] 生产某产品x件时的成本函数为

C（x）=0.001x3-0.3x2+200x+1000，

求生产100件产品时的边际成本.

解  边际成本函数为

C′（x）=0.003x2-0.6x+200，

所以生产100件产品时的边际成本为

C′（100）=0.003×（100）2-0.6×100+200=170.

也就是说，在生产第101件产品时所花费的成本为170.

而C（101）-C（100）=19 170.001-19 000=170.001.

此時|Δx|=1很小，是相对于x0=100很小.

三、问题解决

数学中远小于符号“”，表示一个数远小于另一个数，如1100.1901年，数学家庞加莱与波莱尔首先使用了这个符号，很快被数学界所接受，并沿用至今.

ab读作a远小于b.如果 |b±a| b ≈1，则表示ab，因此，误差由具体需求来决定.比如，物理上实验误差一般要求小于0.1 % ，所以当a<0.1 % b时，可以认为ab.但是很多情况下，至少要求a和b不在一个数量级上，得到的近似值在要求的误差范围内即可.

高等数学主要研究变量变化过程，充满着哲学辩证法.不仅研究绝对改变量，更要考虑改变量的相对量，以及边际量.深刻理解各种量之间的联系，灵活运用，才可以做到融会贯通.

【参考文献】

[1]罗国湘.经济数学基础[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]王刚.高等数学[M].上海：复旦大学出版社，2017.

[3]张建军.高等数学[M].郑州：黄河水利出版社，2013.

[4]李以渝.高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2013.