多变量反常积分的计算

谢素英

【摘要】 数学分析是大学数学类专业的重要基础课，而多变量反常积分是数学分析中的一个重点和难点，本文针对多变量反常积分的计算给出计算方法和技巧，总结了易混易错的关键点.

【关键词】 数学分析;反常积分;多变量;计算技巧

数学分析是大学数学类专业的一门重要基础课，其中《数学分析（下册）》的多变量的反常积分是学生学习的难点[1-3].由于积分的反常和多变量，使得这种广义积分的计算更难掌握，尤其是多变量的无穷积分和瑕积分的混合积分的计算则更加复杂.本文针对一些多变量的反常积分的计算给出计算方法和技巧.

数学分析中关于多变量的反常积分，一般称为含参量的反常积分，其主要的计算方法有定义法、积分换序法、先求导后求积分法等.因为反常积分中的被积函数含有参数，因此，要使用换序法必须先验证含参积分的一致（或内闭一致）收敛性.要利用含参积分的换序法，可以通过如下积分公式把被积函数进行转换，即

∫basinxydy= cosax-cosbx x ， （1）

∫bacosxydy= sinbx-sinax x ， （2）

∫bae-xydy= e-ax-e-bx x ， （3）

∫ba 1 1+（xy）2 dy= arctanbx-arctanax x . （4）

例如，計算如下的反常积分，如果使用公式（1）—（4），可得

∫+∞0 cosax-cosbx x dx=∫+∞0dx∫basinxydy， （5）

∫+∞0 sinax-sinbx x dx=∫+∞0dx∫ba-cosxydy， （6）

∫+∞0 e-ax-e-bx x dx=∫+∞0dx∫bae-xydy， （7）

∫+∞0 arctanax-arctanbx x dx=-∫+∞0dx∫ba 1 1+（xy）2 dy. （8）

若利用积分换序计算（5）和（6），需要验证含参反常积分∫+∞0sinxydx和∫+∞0-cosxydx在y∈[a，b]上的一致收敛性，而这两个积分在y∈[a，b]上显然是发散的，从而一致收敛性不满足，不能利用换序方法来计算.而对于（7）和（8），因为e-xy和 1 1+（xy）2 在（x，y）∈（0，+∞）×[a，b]上连续，且∫+∞0e-xydx和∫+∞0 1 1+（xy）2 dx在y∈[a，b]上均一致收敛（用M-判别法可知），满足含参反常积分的积分换序条件，对（7）和（8）的右端通过积分换序可以得到

∫+∞0dx∫bae-xydy=∫bady∫+∞0e-xydx=∫ba 1 y dy=ln b a ，

-∫+∞0dx∫ba 1 1+（xy）2 dy=-∫bady∫+∞0 1 1+（xy）2 dx

=∫ba- 1 y · π 2 dy=- π 2 ln b a .

由此可知，（7）和（8）的左端可以用积分换序法计算，也可以用一元函数反常积分的傅茹兰公式[4]计算，而（5）和（6）的左端不适合用积分换序法，适合用傅茹兰公式.

总结：综上所述，使用含参反常积分的积分换序法，需要验证换序后含参反常积分的一致收敛性，并且换序之后容易计算积分值.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陈传璋，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]陈纪修，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]Β.Π.吉米多维奇.数学分析习题集题解（五）[M].费定晖，周学圣，编译.济南：山东科学技术出版社，1983.