用实变函数理论透视数学分析

霍美睿

[关键词]实变函数理论；数学分析；勒贝格积分理论

我们在数学分析中学习的微积分是普通微积分，它是由牛顿和莱布尼茨所建立的，存在着明显的缺陷主要有三个方面：

第一，黎曼意义下可积的 函数类的范围太小。例如，定义在上的狄利克雷函数，在黎曼积分（也称积分）意义下不是可积函数，这一点实在遗憾！因为单从形式上看它是个非常“简单”的函数，函数值只有两个值，却居然黎曼不可积，这说明黎曼可积函数类的范围太小。深入研究可知，黎曼可积函数空间是不完备的，即黎曼可积函数列的极限函数未必黎曼可积。空间的不完备使得泛函分析等近代数学方法和技巧无法应用。

第二，积分与极限可交换顺序的条件太严。在数学分析中，经常遇到的重要问题是两种极限过程的交换顺序问题，尤其是积分与函数列的极限的交换问题在那里一般都是用函数列的一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的顺序可以交换，但是“一致收敛”这个条件是过于苛刻了，而且检验起来也不方便。由于积分与极限交换顺序这个问题不能顺利解决，就大大降低了积分的效果。

第三，积分运算不完全是微分运算的逆运算。我们知道任一个黎曼可积函数的变上限积分

在的所有连续点都有，换言之，就是积分后再微分可以还原。

然而，伏尔泰拉在1881年就构造了一个可微函数，其导函数是有界的，但导函数不是黎曼可积的，从而对这个函数来说，积分运算并不是微分运算的逆运算，这就大大限制了微积分学基本定理的应用范围。鉴于积分的上述缺陷，人们长期以来就致力于改进的尝试，直1902年法国数学家勒贝格才成功地引入了一种新积分，后人称之为勒贝格积分，简称积分，由于它在很大程度上摆脱了上述积分的困境，而且大大地扩充了可积函数的范围，所以今天已成为分析数学中不可缺少的工具。

实变函数理论就是围绕积分的建立而展开的，它以集合论和实数理论为基础，将考察对象从经典分析考察的定义在区间上的连续函数扩大到定义在可测集上的可测函数类，在更宽松的条件下运用微积分，使得微积分理论得到进一步发展，其中心内容为勒贝格测度论与勒贝格积分论。

但实变函数处理问题的思想方法较之数学分析有了较大的飞跃，常使初学者感 到陌生、不适应，面对习题束手无策往往加重了学生的思想负担。“教师难教，学生难学 ”使课程建设的难度不言而喻。为此，在教学中一定要把这些新的概念与数学分析中已知的一些概念紧密结合起来，循环渐进地进行教学，这样才能有可能把“承上”做好。

一、在实变函数理论中探讨牛顿莱布尼兹公式成立的条件

利用绝对连续函数的概念，我们可以得到关于黎曼积分与牛顿—莱布尼茨公式：

黎曼积分

成立的充要条件是：（1）（2）是上的绝对连续函数；而在勒贝格积分的意义下，牛顿莱布尼兹公式：勒贝格积分

成立的充要条件是：是上绝对连续函数。

二、应用勒贝格积分理论可以简便解决数学分析中的某些问题

根据黎曼积分与勒贝格积分间的以下关系： 设是有限区间上的有界函数，若在上黎曼可积，则在上勒贝格可积，且积分值相同。由此为我们提供了一个用勒贝格积分理论来处理数学分析中某些问题的方法， 特别是原来比较难证明的或不易说明白的问题， 用此方法可较容易地给出满意的解释。 下面举几例子加以说明。

例1 若 是在 上处处取正值的常义黎曼可积函数，则

黎曼积分。

分析 此题若用数学分析的方法去证明，则相当麻烦。但若利用实变函数的结论：若 则必有并且

再用反证法，即假设勒贝格积分，由积分的唯一性知（）。 这与已知矛盾，证毕。

例2 求证。

证明 因为当时，当时

。所以，于是仅需证明即可。 但是用“”语言直接证明十分麻烦，从而，且=0，，这样由勒贝格控制收敛定理有==0。

例3 求I=

解 首先展开被积函数===，因在内非负连续，故由勒贝格逐项积分定理得I= 即

从表面可以看出示例3的演算似乎完全是在数学分析的框架内进行的，但是求和与积分互换的理由却不易用数学分析中定理讲清楚，用Levi定理的级数形式—勒贝格逐项积分定理则十分简明。

三、数学分析对实变函数理论的作用

极限方法在研究实变函数理论中得到更充分的应用。极限方法是研究数学分析的主要方法，与它相比，极限方法在研究实变函数理论中得到更加充分的应用，事实上，一方面积分是在测度基础上建立起来的，而测度与作为积分基础的Jordan测度相比，不仅具有有限可加性，更具有可数可加性；另一方面，积分论的研究对象是定义在可测集上的可测函数，它与数学分析的主要研究对象——连续函数相比，有本质区别，连续函数对极限运算不封闭，而可测函数在极限运算下是封闭的。这就是说，极限运算对可测集、测函数可畅通无阻地进行使用，也正是由于这个原因，使极限运算在积分理论中得到充分的应用，而且使积分能克服积分的局限性。例如勒贝格控制收敛定理，提供了比积分较弱的条件，使极限与积分次序可以交换，即它不要求验证极限函数的可积性，分析其原因正是基于“可测函数的极限函数仍是可测函数”这一特性，因此积分较之积分有着更为广泛的应用。以下我们举一个实例来说明极限方法在实变函数理论中的应用：

例如 若：连续且，： 勒贝格可测，则：为勒贝格可测。

证明 设为简单函数列的极限，连续函数符号与极限符号（在逐点意义下）可以交换， 与简单函数的复合函数是简单函数， 简单函数列的极限函数可测。 这里的过程完全由极限方法主导着。

通过实变函数理论与数学分析的比较，我们可以认清有关测度的定理来源于积分的定理，对数学以及其它的学科也产生了很大的影响。实变函数理论是微积分的延续学科，是比较高深的学科。因此，在学习中我们要学会运用比较的方法，结合以前所学的知识由浅入深，这样才能对新的理论不会感到高深莫测。□

（编辑/刘佳）