数列极限定义的教学新思路

孙杰宝 郭志昌 吴勃英

【摘要】 数列极限是数学分析课程的重要基础，而如何深刻理解数列极限定义则是学好数学分析的关键.本文通过引入一个将等式“等价为”不等式的引理，引导学生正确理解任意小变量ε和N的依赖关系，并在几何意义下进一步明确数列极限定义的深层内涵.

【关键词】 数列极限;收敛

【基金项目】 黑龙江省高等教育教学改革研究项目（SJGY20170670）.

一、引 言

数列极限是数学分析[1]课程的重要基础，而数学分析的核心也正是对无穷小和无穷大的处理和理解.因此，数列极限的定义及讲授方式在数学分析的讲解中就显得非常重要.数列极限定义的抽象性，使得学生难以理解.已经有多位教育学者对数列极限的定义和讲解方法进行了多方面的探讨[2-4].本文作者探寻出一种关于数列极限定义的教学新思路，使学生更容易理解数列极限定义的深层内涵.

二、数列极限定义教学新思路

关于数列极限定义的教学新思路是：首先，通过给出一些等价引理，重点引导学生理解任意小变量ε;然后，通过实际计算的方式明白任意小变量ε和N的依赖关系;接下来，引出数列极限定义，即大家熟知的数列极限定义的ε-N语言;最后，通过探讨数列极限的几何意义，总结数列极限的本质.

首先，给出如下引理：

引理1  ε>0，|x-y|<εx=y.

证明  必要性，显然.

充分性，反证法.假设x≠y，则|x-y|>0.由ε的任意性取ε= |x-y| 2 ，则有|x-y|< |x-y| 2 ，矛盾.

引理1说明等式可以“等价为”不等式，从而引导学生突破高中阶段对等式的理解，并明确等式在将来的学习研究中可以有更多的形式.

注1：ε>0，|x-y|<aε（a>0）x=y.

注2：ε>0，x<y+εx≤y.

总结：“ε>0，×××”这种描述方式和初等数学中的等式和不等式有着本质的不同，利用这种语言可以进一步得到等式或不等式的“极限”情形.

接下来，我们通过简单问题来理解数列极限定义.

问题1  已知 lim n→∞  1 n =0，那么 1 n 是否等于0？如果不等，将会以哪种方式和0进行比较？

下面我们利用引理1的思想来处理问题1.即：ε>0， 1 n 与0的距离在n取多少时可以达到小于ε？简单计算可得：

ε=0.1时，  1 n -0 <εn>10;

ε=0.01时，  1 n -0 <εn>100;

ε=0.001时，  1 n -0 <εn>1 000.

该结果表明当n大于某个数N时， 1 n 和0总是小于给定的ε.由引理1可知 1 n 与0越来越接近，因为引理1的结论告诉我们n大于某个N时， 1 n 与0相等.

利用上述分析我们可以抽象出数列极限的定义：

定义1  设{xn}是一个实数列，a是一个常数.若ε>0，N=N（ε），使得当n>N时，有|xn-a|<ε，则称数列{xn}收敛于a，并称a为数列{xn}的極限.

理解：问题1中，由于N依赖于ε，记为N=N（ε）.一经找到N，数列中n>N的项都满足和a充分接近，也就是说，可以从定义1中抽出这样的一个部分：

ε>0，|xn-a|<ε.

而引理1告诉我们xn“=”a.这也可以看出充分接近的数学内涵，即ε>0，|xn-a|<ε.

最后从几何的观点来理解数列极限定义.从上图可以看出，问题1的另外一种理解为：当ε=0.1时，（-0.1，0.1）包括了 1 n （n>10）的所有点，但是1，…， 1 10 在区 间（-0.1，0.1）外.而当ε=0.01时，（-0.01，0.01）包括了 1 n （n>100）的所有点，但1，…， 1 100 在区间（-0.1，0.1）外.

依此类推，我们可以得到数列极限的几何解释：存在一点a，使得ε>0，该点的邻域（a-ε，a+ε）总包含{xn}的无穷多点{xN+1，xN+2，…}，而该区间外只有有限个点{x1，…，xN}.

注3：若存在一点，满足在该点的任何邻域内总包含{xn}的无穷多点，那么该点是不是极限值？结论是不一定.考察数列{（-1）n}∞n=1，显然1的任何邻域包含{（-1）n}∞n=1无穷多个点，但1不是极限，因为1的任何邻域外仍有无穷多个数列中的点.

三、结束语

通过引入一个可以将等式“等价为”不等式的引理，加深了学生对ε的理解，并进一步明确了ε在数列极限中所起到的重要作用，从而使得学生更加容易理解和掌握数列极限的定义.

【参考文献】

[1]严子谦，尹景学，张然.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]戎海武，王向东.关于数列极限定义的几点思考[J].高等数学研究，2003（3）：8-9.

[3]王书臣，王立冬，张友，等.数列极限定义教学的认识与实践[J].数学教育学报，2012（6）：85-87.

[4]赵健宝，王洁，李义华.对数列极限的定义的理解[J].数学学习与研究，2012（17）：106.