拉格朗日乘数法的证明与几何意义

2018-03-04 04:05苏长鑫
数学学习与研究 2018年23期

苏长鑫

【摘要】 拉格朗日乘数法是高数的重要知识,各教材没有给出证明,而目前看到的各种证明比较复杂难懂.本文利用方程公共解及曲面族的性质,给出了简单易懂的证明,并对其几何意义做出了解析.

【关键词】 拉格朗日乘数法;公共解;简易证明;几何意义

引理  曲面(线)π: F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0  在曲面族k1F2(x1,x2,…,xn)+k2F2(x1,x2,…,xn)…+kmFm(x1,x2,…,xn)=0上.

证明  对任意满足方程组π的(x1,x2,…,xn),有Fi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m),

代入(1)得k1F2(x1,x2,…,xn)+k2F2(x1,x2,…,xn)+…+kmFm(x1,x2,…,xn)=k10+k20…+km0=0.

得证.

定理  (拉格朗日乘数法)在p0(x10x20…xn0)的某个邻域有连续偏导的曲面(线)y=f(x1,x2,…,xn),

在p处取得满足条件

F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0  (Fi在p的某个邻域有连续偏导,m<n,且方程的秩为m)

下极值,则有

(1) F xi (p0)=0(i=1,2,…,n),

其中F=f(x1,x2,…,xn)+k1F2(x1,x2,…,xn)+k2F2(x1,x2,…,xn)+…+kmFm(x1,x2,…,xn),

其极值点满足 F xi (p0)=0(i=1,2,…,n),

即 f xi (p0)+ki F1 xi (p0)+…+km Fm xi (p0)=0(i=1,2,…,m).

(2)F的这个极值点p0为f的条件极值点.

证明  设(x1,x2…,xn,y)为方程组

F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0,y-f(x1,x2,…,xn)=0  的解.

由引理,可知(x1,x2,…,xn,y)满足方程

(f(x1,x2,…,xn)-y)+k1F2(x1,x2,…,xn)+k2F2(x1,x2,…,xn)+…+kmFm(x1,x2,…,xn)=0,

即满足y=f(x1,x2,…,xn)+k1F2(x1,x2,…,xn)+k2F2(x1,x2,…,xn)+…+kmFm(x1,x2,…,xn)=F(x1,x2,…,xn).

设这个函数F在

F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0  的空间解集(线或面)为D:  p Fi (p)=0 (i=1,2,…,m)中取得极值.

不妨设在p0(x10x20…xn0)处取得极大值F(p0),那么ΔF=F(p)-F(p0)≤0.

当p→p0时,xi的增量Δxi→0,

当Δxi→0-时,有 lim Δxi→0  ΔF Δxi ≥0,

当Δxi→0+时,有 lim Δxi→0  ΔF Δxi ≤0,

故有当Δxi→0时, lim Δxi→0  ΔF Δxi =0.

即 f xi +∑ m j=1 kj Fj xi =0(j=1,2,…,m;i=1,2,…,n).

现在证明此F的极值F0=f(x10x20…xn0)为所求.

因为在p0取得极小(大)值,

所以,ΔF=F0-F≤0(≥0),

y=f(x1,x2,…,xn)

定义在 F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0  的解集D:  p Fi (p)=0  (i=1,2,…,m,m<n).

在p0的某个邻域内,有Fi(x1,x2,…,xn)=0,

ΔF=f(x10,x20,…,xn0)+k1F2(x10,x20,…,xn0)+k2F2(x10,x20,…,xn0)+…+kmFm(x10,x20,…,xn0)-f(x1,x2,…,xn)-k1F2(x1,x2,…,xn)-k2F2(x1,x2,…,xn)-…-kmFm(x1,x2,…,xn)=f(x1,x2,…,xn)-f(x10,x20,…,xn0)=Δy.

由ΔF≤0(≥0)得Δy≤0(≥0),

即F(p0)=f(p0)为y=f(x1,x2,…,xn)

定义在 F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0  的解空间D:  p Fi (p)=0   (i=1,2,…,m,m<n)的极大(小)值.

证毕.

拉格朗日乘数法的几何解释:y=f(x1,x2,…,xn)为定义在n维空间上的函数,其图像为n+1维度上的曲面.对y=f(x1,x2,…,xn),当y=c时(c在y值域内),c=f(x1,x2,…,xn)是平行于n维度定义空间的曲线(等高线).曲面由不同高度的等高线组成.

因此,y=f(x1,x2,…,xn)可视为在n+1维空间上由一族不同等高线组成的图形.

F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0

视为在平行定义空间(n维空间)的一条曲线G=0,在n+1维度空间是一个母线平行第n+1维y轴的柱面,它由一组平行定义空间的等高线 G=0,y=c  组成.假设G=0与y=f(x1,x2,…,xn)不相交.将G=0上下平移,当柱面与曲面y相交时,交线即是定义在

F1(x1,x2,…,xn)=0,F2(x1,x2,…,xn)=0,…Fm(x1,x2,…,xn)=0

上的函数.交线上的点既在y的某条等高线c=f(x1,x2,…,xn)上,又在柱面上.得到y=G+y0与某条等高线相切,则有共同的切线,因此有相同的梯度:

grad(y)=kgrad(G+y0),即grad(f)=kgrad(G).

此时切点在n维定义空间的投影满足G=0.切点的函数值为最值,如图所示.

【参考文献】

[1]同濟大学应用数学系.高等数学:第4版[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]吕林根,许子道.解析几何:第4版[M].北京:高等教育出版社,2006.