知其然，更知其所以然

薛雯曦

[摘  要] 在教学过程中，我们要让学生达到“知其然，更知其所以然”. 为此，启发学生知其所以然是教学过程中必须达到的隐性目标. 本文结合一节专题复习，谈谈相应策略的达成.

[关键词] 专题复习;知其所以然;启发;生长

几何是初中数学的重要组成部分，几何专题复习是初三复习所必需的. 在教学实践中不难发现，部分学生对几何的“感觉”不强，遇到几何问题没有思考方向，不知道从何处下手，其实这都是因为学生对几何图形了解不够深入，不知道几何图形的形成过程. 其实，很多几何模型都有一定的形成规律，找到对应模型的形成规律，对分析几何问题大有帮助. 笔者在几何专题复习的教学中，以注重对图形的分析为教学重点，让学生知道各种几何模型的形成方式，看透图形的本质. 一个阶段的施教后有一定的效果，在一定程度上提高了学生分析几何问题的能力，提高了几何专题复习的效率. 下面，笔者以“角含半角”问题的教学过程为例，谈谈如何以认识图形为中心实施几何专题复习.

认清问题，识清图形

“角含半角”是一种模型，具备一定的特征，认识这种模型是解决该模型所对应问题的先决条件. 认清模型从认识图形开始，以实际问题的几何图形引入该模型的复习，对学生来说是最直观的，因此，教学这节课时，笔者从实际问题引入教学.

引入语：“角含半角”模型是近两年考查的热点. 该模型顾名思义就是有两个角，一个角将另一个角包含其中，并且另一个角是该角的一半.

例1  如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC边上的两点，且∠DAE=60°，若BD=3，CE=4，求DE的长.

（完成方式：学生自主思考，然后学生代表在全班交流展示）

在这个环节中，全班学生对该问题的参与度是30%左右，基本上只有优等生能与教师互动. 虽是复习，但大部分学生看到该问题仍表现出不知所措的茫然，究其根源，一方面是笔者之前在讲述半角问题时未将该问题讲透，另一方面是学生对该问题的理解不够深入，只停留在表面，因此遗忘较快，这从侧面反映出了复习的必要性.

探其实质，究其根源

上一环节是试探环节，旨在了解学生对该模型的掌握程度，结果未出所料，能看透该问题本质的学生只有少数，因此引导学生探究该模型的本质，找到问题的根源，是本节课教师的重要任务.

师：同学们知道我们为什么要将△ABD进行旋转吗？

生1：为了让∠DAB与∠EAC产生关系，即拼在一起成60°.

生2：为了构造全等三角形.

师：这两位同学对问题的观察都很细致，旋转是角含半角问题的基本方法，通过旋转我们即可将原本分散的两个角合为一体，并构造出全等三角形.

师（追问）：那为什么一经旋转该问题就被简化了呢？大家想不想知道“角含半角”模型的由来呢？

众生点头.

教师用几何画板演示角含半角模型的形成过程，如图3.

师：既然半角模型本身就是由全等对称的一对三角形旋转而来，现在大家知道我们在几何问题中进行旋转是为什么了吧？

生3：将图形还原成为全等对称的两个三角形.

几何画板的动态演示能够使旋转问题更加直观生动，能促进学生对问题的理解. 在该环节，学生体会到了角含半角模型的形成过程，知道了该模型的实质，也知道了问题的根源，这对学生深刻认识该模型有积极的作用.

运用自如，逐个击破

角含半角模型在初中阶段所涉及的问题难度并不大，只要掌握方法即可解决. 该环节是在对该模型的形成过程深度剖析的基础上，追求学生对半角模型能顺利解决，对旋转能够运用熟练.

变式  如图8，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD. 求证：EF=BE+DF.

（完成方式：学生独立完成，自主内化）

以上问题分别对应120°中含60°角、90°中含45°角和非特殊角内的半角模型，基本涵盖了近两年初中阶段角含半角模型的考查类型. 题量虽大，但是题型与方法类似，采用“优生示范→小组合作→自主内化”的方式，由易到难，逐个击破. 在此环节中，大部分学生都能在规定时间内完成题目，且正确率较高，基本不需要教师的指导，通过组内成员的互助即可将问题解决. 在这个环节，几乎所有的学生都知道解决这类问题的方法，其中全部做对的达70%左右，达到了预期的效果.

总结规律，内化知识

数学是一门以解决问题为主要任务的学科，方法极其重要，因此在数学教学中，规律的总结与方法的归纳是将知识内化的重要过程. 通过总结，能发现数学的内在联系，能体悟数学的规律，能提高学生的能力.

师：在这节复习课中，大家表现得都很出色，再次回顾了角含半角模型，掌握了该模型的解决办法. 为了使我们下次能快速地从几何问题中发现该模型，大家是否有什么办法？

思考：

1. 角含半角模型具备哪些几何特征？

2. 如何解决该类问题？

3. 你通过探究以上问题，是否得出了“角含半角”模型的一般结论？

（完成方式：学生畅所欲言，教师补充）

师生共同总结并板书：

1. “角含半角”模型所具备的三个条件：①半角（如图8中∠EAF=1/2·∠BAD）;②边相等（如图8中AB=AD）;③角互补（如图8中∠B+∠D=180°）.

2. “角含半角”问题的一般方法：旋转→拼角.

3. “角含半角”模型的一般结论：①EF=BE+DF，②AE平分∠BEF，③AF平分∠DFE.

通过规律的总结，使学生对“角含半角”模型有更深刻的印象，更好地内化该知识，有利于学生在几何问题中准确地发现该模型，为几何问题的解决提供准确的思路.

以认识图形为中心实施几何专题复习教学的策略是笔者在进行传统复习方式的过程中根据学生的互动情况及作业反馈之后经过反思与调整设想的，经过教学尝试以后效果良好，具有实践意义，因而整理成文，给读者参考. 在其他的几何专题如“隐圆问题”“路径最短问题”等也可以采用该复習策略.

几何问题的解决关键在于“读懂”图形，而“读懂”图形就是知道图形的形成过程，理解图形的本质，看懂构成每个复杂图形的基本元素. 因此，读图是解图的基础和前提，是解决几何问题的重要步骤，过程比结果更重要. 因此，“读懂图形”是几何专题复习中教师应该关注的问题. 在几何复习教学中，适当调整教学结构，突出对图形本质的分析，让学生知其然，更知其所以然.