基于“认知规律”优化数学课堂教学——以“用计算器探索规律”教学为例

江苏淮安市天津路小学（223005）

苏教版教材编排“用计算器探索规律”这一单元的目的是让学生掌握用计算器计算较大数的乘除法技能，并在此基础上探索发现其中包含的积的变化规律和商不变的规律，让学生初步应用所学的规律解决一些计算问题，从而感受并体验规律的实际价值。在让学生用计算器探索商不变的规律时，教材呈现了这样的素材：已知8400÷40=210，如果被除数和除数同时乘或除以一个数（零除外），商有什么变化？通过这个素材推动教学进程：让学生列算，初步发现“在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个数（零除外），商不变”的规律，并以此作为一个猜想让学生继续举例，进行计算例证，最后归纳概括得出商不变的规律。也就是说，教材安排的是一个过程性的目标，是要让学生经历规律探索的一般过程，从而积累探索的经验，对数学规律有更深刻的理解。然而，如果我们站在学生的立场，以学生的视角来探寻，学生的需求会在哪里呢？很显然，学生会产生一系列的困惑：为什么要把被除数和除数同时乘或除以一个数，而不是同时去加或者是去减一个数呢？为什么要强调“同时”呢？为什么必须是乘或除以同一个数呢？不同的数为什么不行？为什么还要“零除外”呢？……基于学生对知识的理解，我们可以发现，对这些问题的质疑和探索，是让学生经历“商不变的规律”从萌芽到生长再到形成这整个过程的关键所在。也就是说，让学生发现商不变的规律并不是教学的重点，教学的重点是让学生去探究和思考商不变规律客观存在的根本原因，而这需要遵循学生的认知规律，重新设计课堂教学进程。笔者现根据自己的教学实践，谈谈教学过程的优化设计。

[片段一]引导学生开展探究活动，引发猜想。

笔者先出示算术题“①40÷10，8÷2；②60÷20，120÷40；③9÷3，90÷30；④150÷30，5÷1”让学生计算并比较，看看有什么新的发现；学生口算后发现四组算式中的商都是相等的，这引发了学生强烈的认知冲突，由此促进学生深入探究、思考。很显然，学生由于年龄和认知的局限，从表层上观察和捕捉到了“商相等”这个现象，这仅仅只是第一步，还需要将学生的思维引向深处，使其透过现象探求隐藏在现象背后的本质。于是笔者引导学生思考：比较每组算式中的两道算式，它们的被除数和除数之间有什么联系？如果要将这四组算式进行分类，你认为怎么分？能分成几类？学生经过分组讨论，认为可分成两类，一类是①和④两组算式，它们的被除数和除数都同时变小了，另一类是②和③两组算式，它们的被除数和除数都同时变大了。笔者追问：“①④两组算式中的被除数和除数为什么同时变小？②③两组算式中的被除数和除数为什么同时变大？”学生认为，①④两组算式中被除数和除数同时除以一个数，所以变小了；②③两组算式中被除数和除数同时乘以一个数，所以变大了。学生经过讨论和交流后得到结论：被除数和除数同时除以同一个数，商不变，并强调必须是同时。

[反思]上述教学中，笔者分两个层次来进行教学。层次一，先引导学生进行观察和比较，通过分类活动，让学生初步感知每一组算式的基本特征，再借助小组讨论交流等活动，让学生逐步发现四组算式的不同分类标准：一是被除数和除数同时变小，二是被除数和除数同时变大。层次二，在学生已有的感性认识及已经建立被除数和除数共同发生变化的表象的基础上，追问学生“这四组算式中的两组为什么同时变小，另两组为什么又同时变大”，由此激发学生继续深入思考，继续借助加减乘除等混合运算进行试算和思考，初步获得“被除数和除数同时乘或除以一个数（零除外）商不变”的结论，由此概括出商不变的规律。

[片段二]引导学生验证猜想。

环节一，先让学生计算验证。

笔者先追问学生：“从四组算式中发现蕴含着‘商不变’的规律，如何才能确定这个规律是否具有普遍性呢？”学生认为需要进行验证，于是笔者给学生出示教材例题中的计算题“8400÷40=210”，并让学生思考：如果被除数和除数同时乘或除以一个数，商会有什么变化？学生立刻运用计算器来进行计算，然后展开交流，发现“商不变”。笔者要求学生举例说明用计算器计算的优点（例子中的数字要含一位数、两位数、三位数、四位数等）。

环节二，让学生归纳概括。

笔者追问学生：“通过举例和验证，你得到了什么结论？能不能找到反例？为什么被除数和除数要同时乘或除以相同的数？”学生在自己的计算和验证结果中，并没有找到反例，由此认识到被除数和除数同时乘以或除以相同的数，也就同时发生了相同的变化，所以商是不变的。

环节三，让学生展开思辨。

笔者让学生比较教材总结的商不变的规律和自己探索概括出来的结论有什么不同。学生发现教材中有一个条件就是“零除外”，为什么一定要“零除外”呢？学生根据已有的经验指出零不能做除数，因为零做除数时算式就没有任何意义。

[反思]在探究“商不变的规律”的过程，学生亲身经历了“猜想→验证→结论”的过程，在这个过程中，学生不仅仅获得了数学知识，激活了探究体验的兴趣和动力，还感知了丰富的数学表征和深切体验了数学验证方法。

[教后思考]

对于“用计算器探索规律”一课的教学，笔者基于学生的认知规律对教材内容进行了优化。整个教学过程显示，学生积极踊跃，思维活跃，课堂气氛非常好。这非常成功的一节课，也给了笔者很多启示和思考。现从两个方面谈谈自己的体会。

1.基于认知规律，增设探索环节

“商不变的规律”这一内容的教学，如果单纯从知识目标看，依照教材提供的学习线索，能够多、快、好、省地帮助学生探索和发现知识的规律，然而从学生思维能力发展的角度来看，教材的安排完全屏蔽了学生从感知到领悟数学规律之间因果关系的思考过程。这样的教学，不仅不利于学生建构知识，而且也不利于学生感知数学规律的应用价值。因此在进行教学设计时，就需要适度地拉大教材“空间”，对教材进行重新“布局”，增强探索环节。为此，笔者在学生首次感知数学实例之后，让学生自主探索规律，并展开猜测和验证。这整个环节让学生充分感受数学发现之旅的美丽风景。

2.基于认知规律，增设过程环节

“商不变的规律”教学的关键不是让学生熟记规律，而是让学生了解规律的来龙去脉，理解规律的本质并内化于心，最终学会应用规律。为此，笔者拉长了“猜测→验证→结论”的探究过程，增强了“课堂探索过程”这个环节，其中，猜测环节是探究性学习的关键一步。学生通过积极参与猜测、验证、推理、归纳等活动，亲身经历了思考过程，从而真实地感知到了计算中蕴含的规律所在，经历了数学知识萌芽、生长、发展的过程，很好地发展了数学思维能力。